Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações importantes que o enunciado dá:
- À medida que
(ou seja, se aproxima de por valores maiores que ): - a base
tende para (mais precisamente para ); - o denominador
tende para por valores negativos, logo .
- a base
- Assim a expressão tem a aparência de uma forma indeterminada do tipo
(mais precisamente, , que é indeterminada), então não dá para ler o resultado à primeira vista.
Passo 2
Truque padrão para potências com expoente que depende de
: tomar logaritmo natural para transformar potência em produto, porque limites de produtos/quotientes são mais fáceis de tratar. Defino
Então tomo logaritmo natural dos dois lados:
Explicação didática: se conseguirmos calcular
e esse limite for
finito, então pela continuidade da exponencial teremos
. Por isso agora focamos em calcular
.
Passo 3
Análise da forma de
quando
:
-
, -
.
Portanto é uma forma, condição clássica para usar a Regra de L’Hôpital (desde que as derivadas existam num entorno de e o limite das derivadas exista). Aqui as funções e são diferenciáveis para e em particular no lado direito de , então podemos aplicar L’Hôpital.
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
derivada do numerador é
,
derivada do denominador é
.
Logo
derivada do numerador
derivada do denominador
Logo
Agora avalio o limite facilmente:
Passo 4
Conclusão sobre o logaritmo:
. Como
e a função exponencial é contínua, obtemos
Portanto o limite pedido é
.
Observação alternativa (sem L’Hôpital), para intuir: usar a expansão
. Dividindo por
dá
quando
está próximo de
, levando ao mesmo resultado
.
Passo 5
Um comentário prático e encorajador: a expressão
aproxima-se de um número fixo quando
se aproxima de
pela direita, esse número é
Se ficou alguma dúvida, dá pra refazer o processo com valores numéricos próximos de
para ver a aproximação.