Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} x^{1 /(1-x)}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1^{+}} x^{1/(1-x)}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • À medida que x\to 1^{+} (ou seja, x se aproxima de 1 por valores maiores que 1):
    • a base x tende para 1 (mais precisamente para 1^{+});
    • o denominador 1-x tende para 0 por valores negativos, logo 1/(1-x)\to -\infty.
  • Assim a expressão tem a aparência de uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty} (mais precisamente, 1^{-\infty}, que é indeterminada), então não dá para ler o resultado à primeira vista.

Passo 2

Truque padrão para potências com expoente que depende de x: tomar logaritmo natural para transformar potência em produto, porque limites de produtos/quotientes são mais fáceis de tratar. Defino
y = x^{1/(1-x)}.
Então tomo logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \frac{\ln x}{1-x}.
Explicação didática: se conseguirmos calcular \displaystyle \lim_{x\to1^{+}} \ln y e esse limite for L finito, então pela continuidade da exponencial teremos \displaystyle \lim_{x\to1^{+}} y = e^{L}. Por isso agora focamos em calcular \displaystyle \lim_{x\to1^{+}} \dfrac{\ln x}{1-x}.

Passo 3

Análise da forma de \dfrac{\ln x}{1-x} quando x\to1^{+}:
  • \ln x \to 0,
  • 1-x \to 0.
    Portanto é uma forma 0/0, condição clássica para usar a Regra de L’Hôpital (desde que as derivadas existam num entorno de 1 e o limite das derivadas exista). Aqui as funções \ln x e 1-x são diferenciáveis para x>0 e em particular no lado direito de 1, então podemos aplicar L’Hôpital.
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
derivada do numerador \ln x é 1/x,
derivada do denominador 1-x é -1.
Logo
\lim_{x\to1^{+}} \frac{\ln x}{1-x} = \lim_{x\to1^{+}} \frac{1/x}{-1} = \lim_{x\to1^{+}} \left(-\frac{1}{x}\right).
Agora avalio o limite facilmente:
\lim_{x\to1^{+}} \left(-\frac{1}{x}\right) = -1.

Passo 4

Conclusão sobre o logaritmo: \displaystyle \lim_{x\to1^{+}} \ln y = -1. Como y=x^{1/(1-x)} e a função exponencial é contínua, obtemos
\lim_{x\to1^{+}} y = e^{-1}.
Portanto o limite pedido é e^{-1}.
Observação alternativa (sem L’Hôpital), para intuir: usar a expansão \ln x = (x-1) - \tfrac{(x-1)^2}{2}+\cdots. Dividindo por 1-x = -(x-1) \dfrac{\ln x}{1-x}\approx -1 quando x está próximo de 1, levando ao mesmo resultado \exp(-1)=1/e.

Passo 5

Um comentário prático e encorajador: a expressão x^{1/(1-x)} aproxima-se de um número fixo quando x se aproxima de 1 pela direita, esse número é
e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0{,}3679.
Se ficou alguma dúvida, dá pra refazer o processo com valores numéricos próximos de 1 para ver a aproximação.

Resposta

\dfrac{1}{e}

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