Pede calcular a integral de superfície\iint_{S} f(x,y,z)\,dSonde f(x,y,z)=x^{3}y^{2}.
A superfície S é a parte do coney^{2}=x^{2}+z^{2}que está entre os planos y=1 e y=3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O cone tem equação y^{2}=x^{2}+z^{2}. Como os planos dados têm y>0 (1 e 3), a parte de S considerada fica na nappe superior do cone, ou seja, em y\ge 0.
Logo, sobre S vale y=\sqrt{x^{2}+z^{2}}. Na nappe superior podemos usar r=y em coordenadas cilíndricas (ver passos seguintes).
Passo 2
Escolha de parametrização e explicação didática do porquê.
Ideia: o cone tem simetria circular em torno do eixo y. Em coordenadas cilíndricas usuais usamos (x,z) parametrizados por um raio r e um ângulo \theta:x=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta.A equação do cone diz y^{2}=r^{2}, e na nappe superior y=r (porque y\ge0). Portanto é natural parametrizar a superfície usando as variáveis \theta e y mesmas, com r=y.
Parametrização escolhida:\mathbf{r}(y,\theta)=\bigl(y\cos\theta,\;y,\;y\sin\theta\bigr),com os intervalos1\le y\le 3,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
Comentário didático: aqui eu usei y como “raio” porque sobre o cone r=y. Assim cada círculo de altura y tem raio y e vai de \theta=0 a 2\pi.
Passo 3
Cálculo do elemento de área dS via produto vetorial (passo a passo).
Primeiro calculo as derivadas parciais da parametrização:\mathbf{r}_y=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}=\bigl(\cos\theta,\;1,\;\sin\theta\bigr),
O elemento de área é dado pordS= \bigl\lVert \mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_\theta\bigr\rVert\,dy\,d\theta.Vou calcular o produto vetorial de forma explícita. Montando o determinante:\mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_\theta= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] \cos\theta & 1 & \sin\theta\\[4pt] -y\sin\theta & 0 & y\cos\theta \end{vmatrix}.Calculando componente a componente:\mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_\theta =\bigl(y\cos\theta,\;-y,\;y\sin\theta\bigr).(Detalhe: componente \mathbf{i} é 1\cdot(y\cos\theta)-\sin\theta\cdot 0=y\cos\theta; componente \mathbf{j} é negativo de \cos\theta\cdot(y\cos\theta)-\sin\theta\cdot(-y\sin\theta)=-y(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=-y; componente \mathbf{k} é \cos\theta\cdot 0-1\cdot(-y\sin\theta)=y\sin\theta.)
Norma do vetor:\bigl\lVert \mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_\theta\bigr\rVert =\sqrt{(y\cos\theta)^{2}+(-y)^{2}+(y\sin\theta)^{2}} =\sqrt{y^{2}(\cos^{2}\theta+1+\sin^{2}\theta)} =y\sqrt{2}.
PortantodS = y\sqrt{2}\,dy\,d\theta.]
Passo 4
Avaliação da função f sobre a superfície e montagem do integrando.
Sobre a superfície parametrizada temos x=y\cos\theta. Logof\bigl(\mathbf{r}(y,\theta)\bigr)=x^{3}y^{2}=(y\cos\theta)^{3}\,y^{2}=y^{5}\cos^{3}\theta.
O integrando f\,dS ficaf\,dS = \bigl(y^{5}\cos^{3}\theta\bigr)\cdot\bigl(y\sqrt{2}\,dy\,d\theta\bigr) =\sqrt{2}\;y^{6}\cos^{3}\theta\,dy\,d\theta.
Passo 5
Cálculo da integral dupla separando as variáveis e usando simetria (explicado).
A integral pedida é\iint_{S} x^{3}y^{2}\,dS =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{y=1}^{3}\sqrt{2}\;y^{6}\cos^{3}\theta\,dy\,d\theta.
Posso separar porque o integrando é produto de uma função só de y e outra só de \theta:=\sqrt{2}\left(\int_{y=1}^{3}y^{6}\,dy\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}\theta\,d\theta\right).
Agora avalio a integral em \theta. Uma maneira direta e fechada é usar a identidade de ângulo múltiplo:\cos^{3}\theta=\frac{\cos(3\theta)+3\cos\theta}{4}.Integrando de 0 a 2\pi:\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}\theta\,d\theta =\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{2\pi}\cos(3\theta)\,d\theta+3\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\right).Ambas as integrais de cosseno sobre um período inteiro valem zero:\int_{0}^{2\pi}\cos(3\theta)\,d\theta=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0.Portanto\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}\theta\,d\theta=0.
Como o fator angular é zero, toda a integral se anula, independentemente do valor da integral em y. (Intuitivamente: x^{3} é uma função ímpar em x e, ao percorrer todo o círculo em \theta, as contribuições positivas e negativas de x^{3} se cancelam.)