( 2,5 pontos) Utilize mudança de variáveis apropriada para calcular
\iint_{R}\left(144-16 x^{2}-9 y^{2}\right) d x d y
onde R é a região do primeiro quadrante do plano x y delimitada pela elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1, x=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(144-16 x^{2}-9 y^{2}\right)\,dx\,dy
onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela elipse
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1,
pelo eixo x=0 e pelo eixo y=0.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é 144-16x^{2}-9y^{2}.
  • A fronteira curva principal é a elipse \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{16}=1.
  • A região R está no primeiro quadrante, ou seja, x\ge 0 e y\ge 0.
  • O enunciado indica explicitamente: “Utilize mudança de variáveis apropriada”.

Passo 2

Observação geométrica e escolha da mudança de variáveis (sem resolver ainda).
A elipse tem a forma padrão \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a^{2}=9 e b^{2}=16. Uma mudança natural que transforma essa elipse no círculo unitário é escalar x e y: definir novas variáveis u e v por
x=3u,\qquad y=4v.
Com essa transformação a equação da elipse fica u^{2}+v^{2}=1. Como R está no primeiro quadrante em x,y, os valores correspondentes têm u\ge 0 e v\ge 0. Portanto, a imagem de R no plano uv é o quarto (primeiro) de disco unitário:
D=\{(u,v)\mid 0\le u^{2}+v^{2}\le 1,\; u\ge0,\; v\ge0\}.
Vou usar essa mudança porque simplifica muito a fronteira e a integranda (você vai ver nos próximos passos).

Passo 3

Cálculo do Jacobiano da mudança de variáveis e explicação do que é.
Quando fazemos a troca (x,y)\mapsto(u,v), a área infinitesimal transforma-se segundo o determinante da matriz das derivadas parciais (o Jacobiano). Formalmente,
J(u,v)=\left|\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}\right|.
No nosso caso x=3u e y=4v, logo
\frac{\partial x}{\partial u}=3,\quad \frac{\partial x}{\partial v}=0,\quad \frac{\partial y}{\partial u}=0,\quad \frac{\partial y}{\partial v}=4.
Portanto o Jacobiano é
J(u,v)=\left|\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}\right|=|3\cdot 4 - 0|=12.
Interpretação rápida: um pequeno paralelogramo de área du\,dv no plano uv corresponde a um paralelogramo de área 12\,du\,dv no plano xy. Assim dx\,dy = 12\,du\,dv.]

Passo 4

Substituição da integranda e do elemento de área.
Primeiro escrevo a integranda em termos de u,v. Como x=3u e y=4v,
x^{2}=9u^{2},\qquad y^{2}=16v^{2}.
Logo
144-16x^{2}-9y^{2}=144-16\cdot 9u^{2}-9\cdot 16v^{2}.
Calculemos os coeficientes: 16\cdot 9=144 e 9\cdot16=144. Assim a integranda fica
144-144u^{2}-144v^{2}=144(1-u^{2}-v^{2}).
O elemento de área substitui dx\,dy por 12\,du\,dv. Portanto a integral se transforma em
\iint_{R}\left(144-16 x^{2}-9 y^{2}\right)\,dx\,dy = \iint_{D} 144(1-u^{2}-v^{2})\cdot 12\,du\,dv.
Posso fatorar constantes:
144\cdot 12 = 1728,
então
\iint_{R}\left(144-16 x^{2}-9 y^{2}\right)\,dx\,dy = 1728\iint_{D} (1-u^{2}-v^{2})\,du\,dv.

Passo 5

Mudança para coordenadas polares em (u,v) (justificativa e fórmulas).
A região D é o quarto de disco unitário: 0\le u^{2}+v^{2}\le 1 com u\ge0,v\ge0. Para integrar funções que dependem de u^{2}+v^{2} é muito conveniente usar coordenadas polares:
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta medindo o ângulo a partir do eixo u. O elemento de área em coordenadas polares é
du\,dv = r\,dr\,d\theta.
Na nossa região D temos r variando de 0 a 1 e \theta variando de 0 a \pi/2 (porque estamos no primeiro quadrante de u,v). Além disso u^{2}+v^{2}=r^{2}. Portanto a integral fica
1728\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} (1-r^{2})\, r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Cálculo da integral dupla em coordenadas polares (passo a passo).
Primeiro faço a integral interna em r:
\int_{0}^{1} (1-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{1} (r - r^{3})\,dr.
Integro termo a termo:
\int_{0}^{1} r\,dr = \left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2},
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Subtraindo:
\int_{0}^{1} (r - r^{3})\,dr = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.
Agora integro em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.
Juntando tudo com o fator 1728:
1728\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\cdot \left(\frac{\pi}{2}\right) =1728\cdot \frac{\pi}{8}.
Simplifico 1728/8: 1728\div 8 = 216. Portanto o valor da integral é
216\pi.

Passo 7

Checagem rápida de coerência (intuição).
A integranda original é positiva dentro da elipse (pois em pontos dentro a soma 16x^{2}+9y^{2}<144), a região é finita, então resultado positivo faz sentido. A presença de \pi é natural porque transformamos a região elíptica em um setor circular; o fator numérico 216 vem da combinação dos fatores de escala 3 e 4 (o Jacobiano) e da constante 144 na integranda.

Resposta

216\pi

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