onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela elipse
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1,
pelo eixo x=0 e pelo eixo y=0.
Informações relevantes dadas:
A integranda é 144-16x^{2}-9y^{2}.
A fronteira curva principal é a elipse \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{16}=1.
A região R está no primeiro quadrante, ou seja, x\ge 0 e y\ge 0.
O enunciado indica explicitamente: “Utilize mudança de variáveis apropriada”.
Passo 2
Observação geométrica e escolha da mudança de variáveis (sem resolver ainda).
A elipse tem a forma padrão \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a^{2}=9 e b^{2}=16. Uma mudança natural que transforma essa elipse no círculo unitário é escalar x e y: definir novas variáveis u e v por
x=3u,\qquad y=4v.
Com essa transformação a equação da elipse fica u^{2}+v^{2}=1. Como R está no primeiro quadrante em x,y, os valores correspondentes têm u\ge 0 e v\ge 0. Portanto, a imagem de R no plano uv é o quarto (primeiro) de disco unitário:
Vou usar essa mudança porque simplifica muito a fronteira e a integranda (você vai ver nos próximos passos).
Passo 3
Cálculo do Jacobiano da mudança de variáveis e explicação do que é.
Quando fazemos a troca (x,y)\mapsto(u,v), a área infinitesimal transforma-se segundo o determinante da matriz das derivadas parciais (o Jacobiano). Formalmente,
Interpretação rápida: um pequeno paralelogramo de área du\,dv no plano uv corresponde a um paralelogramo de área 12\,du\,dv no plano xy. Assim dx\,dy = 12\,du\,dv.]
Passo 4
Substituição da integranda e do elemento de área.
Primeiro escrevo a integranda em termos de u,v. Como x=3u e y=4v,
Mudança para coordenadas polares em (u,v) (justificativa e fórmulas).
A região D é o quarto de disco unitário: 0\le u^{2}+v^{2}\le 1 com u\ge0,v\ge0. Para integrar funções que dependem de u^{2}+v^{2} é muito conveniente usar coordenadas polares:
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta medindo o ângulo a partir do eixo u. O elemento de área em coordenadas polares é
du\,dv = r\,dr\,d\theta.
Na nossa região D temos r variando de 0 a 1 e \theta variando de 0 a \pi/2 (porque estamos no primeiro quadrante de u,v). Além disso u^{2}+v^{2}=r^{2}. Portanto a integral fica
Simplifico 1728/8: 1728\div 8 = 216. Portanto o valor da integral é
216\pi.
Passo 7
Checagem rápida de coerência (intuição).
A integranda original é positiva dentro da elipse (pois em pontos dentro a soma 16x^{2}+9y^{2}<144), a região é finita, então resultado positivo faz sentido. A presença de \pi é natural porque transformamos a região elíptica em um setor circular; o fator numérico 216 vem da combinação dos fatores de escala 3 e 4 (o Jacobiano) e da constante 144 na integranda.