Encontre os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor que aproxima a solução do problema de valor inicial
Escolha uma opção:
a. Consegui resolver
b. Não sei como resolver
Verificar
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial e pede os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor que aproxima a solução. Informações dadas:
O que precisamos entregar: os três primeiros termos não nulos da série de Taylor de
em torno de
(ou seja, o polinômio de Taylor centrado em
até o grau necessário).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): suponho que a solução
tenha uma série de potências (Maclaurin)
Explico as peças:
- Cada
é um coeficiente desconhecido que vamos determinar. - A derivada é obtida termo a termo:
- A equação diferencial impõe
. Expandimos o lado direito em série de potências e igualamos coeficientes termo a termo para determinar os . - A condição inicial
implica que não há termo constante em (ou seja, , e começamos em ).
Passo 3
Escrevo
porque aparece dentro do seno:
Portanto
A série de
é
Para obter os três primeiros coeficientes não nulos de
precisamos expandir até a ordem apropriada (veremos que precisaremos até a ordem
em
para encontrar
).
Passo 4
Começo igualando os termos de ordem baixa. Primeiro escrevo a expressão de
explicitamente até ordem
:
Agora expando
até ordem
. Escrevo
. Para os termos até
basta usar
Passo 5
Calculo
e
até as ordens necessárias (usando
simbólicos):
Primeiro, pela condição inicial não há termo constante; isso já foi usado. Mantemos
como incógnitas por enquanto.
Escrevo até
:
Primeiro, pela condição inicial
Escrevo
Agora
. Para obter os termos até
basta observar que:
Os termos relevantes são:
- termo em
: ; - termo em
: .
Logo, até:
Portanto
Agrupando coeficientes por potências de
:
Passo 6
Agora igualo coeficientes de
e
termo a termo.
Coeficiente constante (termo
):
Logo
Coeficiente de
:
Com
isso dá
Coeficiente de
:
Portanto
Coeficiente de
:
Substituindo
e
obtemos
Coeficiente de
:
Substituindo
,
,
:
Assim
Passo 7
Juntando os coeficientes encontrados:
Portanto a série de Taylor (Maclaurin) da solução começa
Os três primeiros termos não nulos são, portanto,
,
e
.