Encontre os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor que aproxima a solução do problema de valor inicial y^{\prime}=\sin (x+y) ; \quad y(0)=0
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Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial e pede os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor que aproxima a solução. Informações dadas:
y'(x)=\sin\bigl(x+y(x)\bigr), \qquad y(0)=0.
O que precisamos entregar: os três primeiros termos não nulos da série de Taylor de y(x) em torno de x=0 (ou seja, o polinômio de Taylor centrado em 0 até o grau necessário).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): suponho que a solução y(x) tenha uma série de potências (Maclaurin)
y(x)=\sum_{n\ge1} c_n x^n = c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + c_5 x^5 + \cdots.
Explico as peças:
  • Cada c_n é um coeficiente desconhecido que vamos determinar.
  • A derivada é obtida termo a termo:
y'(x)=\sum_{n\ge1} n c_n x^{\,n-1}=c_1 + 2c_2 x + 3c_3 x^2 + 4c_4 x^3 + 5c_5 x^4+\cdots.
  • A equação diferencial impõe y'(x)=\sin(x+y(x)). Expandimos o lado direito em série de potências e igualamos coeficientes termo a termo para determinar os c_n.
  • A condição inicial y(0)=0 implica que não há termo constante em y (ou seja, c_0=0, e começamos em c_1).

Passo 3

Escrevo u(x)=x+y(x) porque aparece dentro do seno:
u(x)=x+y(x)=x + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + c_5 x^5 + \cdots.
Portanto
u(x)=(1+c_1)x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + c_5 x^5 + \cdots.
A série de \sin u é
\sin u = u - \frac{u^3}{6} + \frac{u^5}{120} - \cdots.
Para obter os três primeiros coeficientes não nulos de y precisamos expandir até a ordem apropriada (veremos que precisaremos até a ordem x^4 em \sin u para encontrar c_5).

Passo 4

Começo igualando os termos de ordem baixa. Primeiro escrevo a expressão de y' explicitamente até ordem x^4:
y'(x)=c_1 + 2c_2 x + 3c_3 x^2 + 4c_4 x^3 + 5c_5 x^4 + \cdots.
Agora expando \sin u até ordem x^4. Escrevo u=x+ c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4+\cdots. Para os termos até x^4 basta usar
\sin u = u - \frac{u^3}{6} + O(u^5).

Passo 5

Calculo u e u^3 até as ordens necessárias (usando c_i simbólicos):
Primeiro, pela condição inicial y(0)=0 não há termo constante; isso já foi usado. Mantemos c_1,c_2,\dots como incógnitas por enquanto.
Escrevo u até x^4:
u = (1+c_1)x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + \cdots.
Agora u^3. Para obter os termos até x^4 basta observar que:
u^3 = \bigl((1+c_1)x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + \cdots\bigr)^3.
Os termos relevantes são:
  • termo em x^3: (1+c_1)^3 x^3;
  • termo em x^4: 3(1+c_1)^2 c_2\, x^4.
    Logo, até x^4:
u^3 = (1+c_1)^3 x^3 + 3(1+c_1)^2 c_2\, x^4 + \cdots.
Portanto
\sin u = (1+c_1)x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 - \frac{1}{6}\Bigl((1+c_1)^3 x^3 + 3(1+c_1)^2 c_2 x^4\Bigr) + \cdots.
Agrupando coeficientes por potências de x:
\sin u = (1+c_1)x + c_2 x^2 + \Bigl(c_3 - \frac{(1+c_1)^3}{6}\Bigr)x^3 + \Bigl(c_4 - \frac{1}{2}(1+c_1)^2 c_2\Bigr)x^4 + \cdots.

Passo 6

Agora igualo coeficientes de y'(x) e \sin u termo a termo.
Coeficiente constante (termo x^0):
\text{em }y':\\ c_1,\qquad \text{em }\sin u:\\\ 0.
Logo
c_1=0.
Coeficiente de x^1:
\text{em }y':\\\ 2c_2,\qquad \text{em }\sin u:\\\ 1+c_1.
Com c_1=0 isso dá
2c_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad c_2=\frac{1}{2}.
Coeficiente de x^2:
\text{em }y':\\\ 3c_3,\qquad \text{em }\sin u:\\ c_2.
Portanto
3c_3 = c_2 = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad c_3=\frac{1}{6}.
Coeficiente de x^3:
\text{em }y':\\\ 4c_4,\qquad \text{em }\sin u:\\ c_3 - \frac{(1+c_1)^3}{6}.
Substituindo c_1=0 e c_3=\tfrac{1}{6} obtemos
4c_4 = \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = 0 \quad\Rightarrow\quad c_4=0.
Coeficiente de x^4:
\text{em }y':\\\ 5c_5,\qquad \text{em }\sin u:\\ c_4 - \frac{1}{2}(1+c_1)^2 c_2.
Substituindo c_1=0, c_2=\tfrac{1}{2}, c_4=0:
5c_5 = 0 - \frac{1}{2}\cdot 1^2 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}.
Assim
c_5 = -\frac{1}{20}.

Passo 7

Juntando os coeficientes encontrados:
c_1=0,\quad c_2=\frac{1}{2},\quad c_3=\frac{1}{6},\quad c_4=0,\quad c_5=-\frac{1}{20},\\ \ldots
Portanto a série de Taylor (Maclaurin) da solução começa
y(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{20}x^5+\cdots.
Os três primeiros termos não nulos são, portanto, \tfrac{1}{2}x^2, \tfrac{1}{6}x^3 e -\tfrac{1}{20}x^5.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{1}{20}x^5+\cdots

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