3- (3 pontos) Utilize as propriedades dos somatórios e dê o valor de
\sum_{\substack{i=3 \\ i \neq 5}}^{7} \sum_{\substack{j=5 \\ j \neq 6,9}}^{10}(2 i-2 j)^{2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do somatório duplo
\sum_{\substack{i=3 \\\ i \neq 5}}^{7} \sum_{\substack{j=5 \\\ j \neq 6,9}}^{10}(2\,i-2\,j)^{2},
que exclui i=5 e j=6,9. O conteúdo envolve manipular somatórios e fatorar expressões quadráticas para simplificar a soma.

Passo 2

Definimos os conjuntos de índices
I = \{3,4,6,7\},\quad J = \{5,7,8,10\}.
Observe que
(2\,i - 2\,j)^{2} = 4\,(i - j)^{2},
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\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}(2\,i-2\,j)^{2} = 4 \sum_{i\in I}\sum_{j\in J}(i-j)^{2}.

Passo 3

Usamos a identidade
\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}(i-j)^{2} = |J|\sum_{i\in I}i^{2} -2\Bigl(\sum_{i\in I}i\Bigr)\Bigl(\sum_{j\in J}j\Bigr) +|I|\sum_{j\in J}j^{2}.
Calculamos
\sum_{i\in I}i = 3+4+6+7 = 20,\quad \sum_{i\in I}i^{2}=9+16+36+49 = 110,
\sum_{j\in J}j = 5+7+8+10 = 30,\quad \sum_{j\in J}j^{2}=25+49+64+100 = 238,
com |I|=|J|=4. Assim,
\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}(i-j)^{2} =4\cdot110 -2\cdot20\cdot30 +4\cdot238 =440 -1200 +952 =192.

Passo 4

Voltando ao somatório original:
\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}(2\,i-2\,j)^{2} =4\times192 =768.

Resposta

768

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