Utilizando a notação de componentes e juntamente com os teoremas integrais, prove as seguintes identidades vetorias:
Passo 1
Enunciado e dados: provar a identidade
O que nos é dado explicitamente:
-
é uma curva fechada que é o contorno de uma superfície orientada . -
e são funções escalares suficientemente suaves (deriváveis duas vezes) na vizinhança de . -
é o vetor normal unitário à superfície com orientação compatível com a orientação de (regra da mão direita).
O que se pede: - Mostrar, passo a passo, que o integral de linha da campo vetorial
ao longo de é igual ao integral de superfície do vetor projetado sobre .
Passo 2
A ferramenta principal: enuncie o teorema de Stokes (em forma vetorial). Ele afirma, para um campo vetorial
suficientemente suave definido numa superfície
com contorno
,
Explicação didática:
é o rotacional (curl) de
; suas componentes descrevem como
“gira” localmente. A integral de linha à esquerda mede a circulação total ao longo do contorno, e a integral de superfície à direita soma as rotações locais através da superfície. Para aplicarmos esse teorema devemos escolher um
apropriado.
Passo 3
Escolha do campo
: tome
Comentário: isso significa que as componentes de
são
onde usamos a notação
. Nosso objetivo agora é calcular
por componentes e mostrar que ele coincide com
.
Passo 4
Definição por componentes do rotacional e notação: usamos o símbolo de Levi-Civita
e a convenção de soma de Einstein (soma sobre índices repetidos). A componente
-ésima do rotacional é
Substituindo
obtemos, usando a regra do produto para derivadas,
Aqui
.
Passo 5
Mostre que o segundo termo some: pelo teorema de Schwarz (clássico para funções duas vezes contínuas) temos
, ou seja, a matriz das segundas derivadas é simétrica:
. Mas
é totalmente anti-simétrica em
: trocar
muda o sinal de
. Assim a contração de um tensor simétrico com um tensor anti-simétrico dá zero. Formalmente,
portanto esse termo é igual ao seu negativo e deve ser zero:
Passo 6
Concluímos, usando o resultado do passo anterior, que
Mas a expressão à direita é exatamente a componente
-ésima do produto vetorial
, pois por definição
Portanto, em forma vetorial,
Passo 7
Aplicação final do teorema de Stokes: substituindo
na fórmula do passo 2 e usando o resultado do passo 6,
Comentário sobre orientação: a orientação de
deve ser a positiva induzida por
(regra da mão direita); com essa compatibilidade a igualdade vale exatamente como escrita.
Passo 8
Exemplo simples para fixar a ideia (opcional mas elucidativo): tome
e
e a superfície
igual ao quadrado unitário no plano
com normal
e contorno
orientado anti-horário. Então
,
e
A integral de superfície dá
Pelo outro lado
no plano
(em coordenadas 2D) e a integral de linha ao redor do quadrado, calculada segmento a segmento, também dá
. Assim o exemplo confirma a identidade num caso concreto.