Utilizando a notação de componentes e juntamente com os teoremas integrais, prove as seguintes identidades vetorias:
\oint_{c} \varphi \nabla \psi \cdot d \mathbf{r}=\iint_{\mathscr{D}}(\nabla \varphi \times \nabla \psi) \cdot \mathbf{n} d S

Passo 1

Enunciado e dados: provar a identidade
\oint_{c} \varphi \nabla \psi \cdot d \mathbf{r}=\iint_{\mathscr{D}}(\nabla \varphi \times \nabla \psi) \cdot \mathbf{n}\, d S.
O que nos é dado explicitamente:
  • c é uma curva fechada que é o contorno de uma superfície orientada \mathscr{D}.
  • \varphi e \psi são funções escalares suficientemente suaves (deriváveis duas vezes) na vizinhança de \mathscr{D}.
  • \mathbf{n} é o vetor normal unitário à superfície \mathscr{D} com orientação compatível com a orientação de c (regra da mão direita).
    O que se pede:
  • Mostrar, passo a passo, que o integral de linha da campo vetorial \varphi\nabla\psi ao longo de c é igual ao integral de superfície do vetor \nabla\varphi\times\nabla\psi projetado sobre \mathbf{n}.

Passo 2

A ferramenta principal: enuncie o teorema de Stokes (em forma vetorial). Ele afirma, para um campo vetorial \mathbf{F} suficientemente suave definido numa superfície \mathscr{D} com contorno c=\partial\mathscr{D},
\oint_{c}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{\mathscr{D}}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\, dS.
Explicação didática: \nabla\times\mathbf{F} é o rotacional (curl) de \mathbf{F}; suas componentes descrevem como \mathbf{F} “gira” localmente. A integral de linha à esquerda mede a circulação total ao longo do contorno, e a integral de superfície à direita soma as rotações locais através da superfície. Para aplicarmos esse teorema devemos escolher um \mathbf{F} apropriado.

Passo 3

Escolha do campo \mathbf{F}: tome
\mathbf{F}=\varphi\,\nabla\psi.
Comentário: isso significa que as componentes de \mathbf{F} são
F_i=\varphi\,\partial_i\psi,
onde usamos a notação \partial_i\psi=\dfrac{\partial\psi}{\partial x_i}. Nosso objetivo agora é calcular \nabla\times\mathbf{F} por componentes e mostrar que ele coincide com \nabla\varphi\times\nabla\psi.

Passo 4

Definição por componentes do rotacional e notação: usamos o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} e a convenção de soma de Einstein (soma sobre índices repetidos). A componente i-ésima do rotacional é
(\nabla\times\mathbf{F})_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j F_k.
Substituindo F_k=\varphi\,\partial_k\psi obtemos, usando a regra do produto para derivadas,
(\nabla\times\mathbf{F})_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j(\varphi\,\partial_k\psi) =\varepsilon_{ijk}(\partial_j\varphi)(\partial_k\psi)+\varepsilon_{ijk}\varphi\,\partial_j\partial_k\psi.
Aqui \partial_j\partial_k\psi=\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x_j\partial x_k}.

Passo 5

Mostre que o segundo termo some: pelo teorema de Schwarz (clássico para funções duas vezes contínuas) temos \partial_j\partial_k\psi=\partial_k\partial_j\psi, ou seja, a matriz das segundas derivadas é simétrica: \partial_j\partial_k\psi=\partial_k\partial_j\psi. Mas \varepsilon_{ijk} é totalmente anti-simétrica em j,k: trocar j\leftrightarrow k muda o sinal de \varepsilon_{ijk}. Assim a contração de um tensor simétrico com um tensor anti-simétrico dá zero. Formalmente,
\varepsilon_{ijk}\partial_j\partial_k\psi = -\varepsilon_{ikj}\partial_k\partial_j\psi = -\varepsilon_{ijk}\partial_j\partial_k\psi,
portanto esse termo é igual ao seu negativo e deve ser zero:
\varepsilon_{ijk}\varphi\,\partial_j\partial_k\psi = 0.

Passo 6

Concluímos, usando o resultado do passo anterior, que
(\nabla\times\mathbf{F})_i=\varepsilon_{ijk}(\partial_j\varphi)(\partial_k\psi).
Mas a expressão à direita é exatamente a componente i-ésima do produto vetorial \nabla\varphi\times\nabla\psi, pois por definição
(\nabla\varphi\times\nabla\psi)_i=\varepsilon_{ijk}(\partial_j\varphi)(\partial_k\psi).
Portanto, em forma vetorial,
\nabla\times(\varphi\nabla\psi)=\nabla\varphi\times\nabla\psi.

Passo 7

Aplicação final do teorema de Stokes: substituindo \mathbf{F}=\varphi\nabla\psi na fórmula do passo 2 e usando o resultado do passo 6,
\oint_{c}\varphi\nabla\psi\cdot d\mathbf{r}=\iint_{\mathscr{D}}(\nabla\times(\varphi\nabla\psi))\cdot\mathbf{n}\, dS =\iint_{\mathscr{D}}(\nabla\varphi\times\nabla\psi)\cdot\mathbf{n}\, dS.
Comentário sobre orientação: a orientação de c deve ser a positiva induzida por \mathbf{n} (regra da mão direita); com essa compatibilidade a igualdade vale exatamente como escrita.

Passo 8

Exemplo simples para fixar a ideia (opcional mas elucidativo): tome \varphi(x,y,z)=x e \psi(x,y,z)=y e a superfície \mathscr{D} igual ao quadrado unitário no plano z=0 com normal \mathbf{n}=(0,0,1) e contorno c orientado anti-horário. Então \nabla\varphi=(1,0,0), \nabla\psi=(0,1,0) e
\nabla\varphi\times\nabla\psi=(0,0,1).
A integral de superfície dá
\iint_{\mathscr{D}}(\nabla\varphi\times\nabla\psi)\cdot\mathbf{n}\, dS=\iint_{\mathscr{D}}1\, dS=\text{Área}(\mathscr{D})=1.Á
Pelo outro lado \varphi\nabla\psi=(x,0) no plano z=0 (em coordenadas 2D) e a integral de linha ao redor do quadrado, calculada segmento a segmento, também dá 1. Assim o exemplo confirma a identidade num caso concreto.

Resposta

\oint_{c} \varphi \nabla \psi \cdot d \mathbf{r}=\iint_{\mathscr{D}}(\nabla \varphi \times \nabla \psi) \cdot \mathbf{n}\, d S

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