então determine os seus autovalores e as correspondentes direções principais. Como esse tensor fica representado no sistema de coordenadas cujos eixos coincidem com as direções principais?
Passo 1
O enunciado dá o tensor (matriz simétrica) cujas componentes, na base original, são
as correspondentes direções principais (autovetores diretores, preferivelmente normalizados);
como T fica representado no sistema de coordenadas cujos eixos coincidem com essas direções principais (ou seja, a forma diagonalizada de T).
As informações relevantes do enunciado são apenas as entradas da matriz acima.
Passo 2
Conceito essencial (explicadinho): um vetor não nulo v é autovetor de T com autovalor \lambda se
T v = \lambda v.
Isto equivale ao sistema linear (T-\lambda I)v=0. Para existir solução não trivial, precisamos que
\det(T-\lambda I)=0,
que é o polinômio característico. Como T é simétrica, sabemos (não precisa decorar, mas é útil) que todos os autovalores são reais e que autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais — o que facilita muito a geometria e a diagonalização.
Passo 3
Vamos calcular o polinômio característico. Primeiro escrevemos T-\lambda I:
Da terceira equação vem \sqrt{3}\,x=0\Rightarrow x=0\]. Substituindo na primeira dá \(\sqrt{3}\,z=0\Rightarrow z=0. Assim x=z=0 e y é livre; escolhemos y=1. Logo um autovetor é
v_{(3)}=(0,1,0).
Esse já é unitário (norma 1), então a direção principal associada a \lambda=3 é o vetor unitário
u_{(3)}=(0,1,0).]
Passo 5
Agora \lambda=6. Resolvemos (T-6I)v=0. A submatriz relevante no plano x\!-\!z é
Verificações rápidas e geométricas: note que os três vetores unitários \,u_{(6)},u_{(3)},u_{(2)} são mutuamente ortogonais (pode-se verificar os produtos internos e ver que dão zero), o que é esperado porque T é simétrica. Como temos um conjunto ortonormal de autovetores, podemos formar a matriz ortogonal P cujas colunas são esses vetores (na ordem que quisermos combinar com os autovalores). Por exemplo, tomando a ordem (\lambda=6,\lambda=3,\lambda=2) e colunas correspondentes, temos
Isto significa que no sistema de coordenadas cujos eixos são as direções principais u_{(6)},u_{(3)},u_{(2)}, a representação do tensor é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal.]
Resposta
\lambda_{1}=6 com direção principal unitária \displaystyle u_{(6)}=\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{1}{2}\Bigr) \lambda_{2}=3 com direção principal unitária \displaystyle u_{(3)}=(0,1,0) \lambda_{3}=2 com direção principal unitária \displaystyle u_{(2)}=\Bigl(-\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)
Matriz de T no sistema de eixos principais: