(
pontos) Utilize a teoria de Fourier para calcular o valor das séries
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série
usando teoria de Fourier. Vamos usar a expansão em série de Fourier de uma função simples e avaliá-la num ponto estratégico para obter a soma desejada. Precisamos conhecer as fórmulas dos coeficientes de Fourier para funções pares e a ideia de avaliar a série em
.
Passo 2
Definimos a função periódica de período
por
em
. Como
é par, sua série de Fourier tem apenas termos em cosseno:
Vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculamos
por
Como
é par,
Passo 4
Para
,
Fazendo integração por partes com
,
(logo
,
), obtemos
Como
, o primeiro termo cai. No segundo integral, integramos por partes de novo com
,
(
,
):
Logo
portanto
Passo 5
Substituindo em
, a série é
Passo 6
Avaliamos em
. No lado esquerdo dá
. No direito,
, então
Passo 7
Isolando a soma,
logo