( 2 0 , 0 pontos) Utilize a teoria de Fourier para calcular o valor das séries
sumn=1^infty 1n^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série sumn=1^infty1n^2 usando teoria de Fourier. Vamos usar a expansão em série de Fourier de uma função simples e avaliá-la num ponto estratégico para obter a soma desejada. Precisamos conhecer as fórmulas dos coeficientes de Fourier para funções pares e a ideia de avaliar a série em x=pi.

Passo 2

Definimos a função periódica de período 2pi por f(x)=x^2 em [-pi,pi]. Como f é par, sua série de Fourier tem apenas termos em cosseno:
f(x)=a02+sumn=1^infty ancos(nx)
Vamos calcular a0 e an.

Passo 3

Calculamos a0 por
a0=1piintegral-pi^pix^2,dx
Como x^2 é par,
a0=2piintegral0^pix^2,dx=2pil[x^33r]0^pi=2pi^23

Passo 4

Para an,
an=1piintegral-pi^pix^2cos(nx),dx = 2piintegral0^pix^2cos(nx),dx
Fazendo integração por partes com u=x^2, dv=cos(nx)dx (logo du=2x,dx, v=sin(nx)/n), obtemos
integral0^pi x^2cos(nx),dx=l[x^2sin(nx)nr]0^pi-2nintegral0^pixsin(nx),dx
Como sin(npi)=0, o primeiro termo cai. No segundo integral, integramos por partes de novo com u=x, dv=sin(nx)dx ( du=dx, v=-cos(nx)/n):
integral0^pi xsin(nx),dx=l[-xcos(nx)nr]0^pi+1nintegral0^picos(nx),dx=-pi(-1)^nn
Logo
integral0^pi x^2cos(nx),dx=-2nl(-pi(-1)^nnr)=2pi(-1)^nn^2,
portanto
an=2picdot2pi(-1)^nn^2=4(-1)^nn^2

Passo 5

Substituindo em f(x), a série é
x^2=a02+sumn=1^infty ancos(nx)=pi^23+4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)

Passo 6

Avaliamos em x=pi. No lado esquerdo dá pi^2. No direito, cos(npi)=(-1)^n, então
pi^2=pi^23+4sumn=1^infty(-1)^nn^2(-1)^n=pi^23+4sumn=1^infty1n^2

Passo 7

Isolando a soma,
4sumn=1^infty1n^2=pi^2-pi^23=2pi^23,
logo
sumn=1^infty1n^2=pi^26

Resposta

pi^26

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