(2 pontos) Para uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{8}+\frac{3}{8} x \quad 0 \leq x \leq 2 \\\\ 0 \quad \text { caso contrário } \end{array}\right.á
Pede-se para calcular coeficiente de variação.

Passo 1

O enunciado nos dá uma v.a. contínua X\) com densidade \[f(x)=\begin{cases} \frac{1}{8}+\frac{3}{8}x, & 0\le x\le2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
e pede o coeficiente de variação, definido por
CV = \frac{\sigma}{\mu},
onde \mu=E[X]\] e \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}. Para obter CV precisamos calcular E[X], E[X^2], daí \mathrm{Var}(X) e finalmente \sigma.

Passo 2

Calculamos o valor esperado
\mu = E[X] = \int_{0}^{2} x\,f(x)\,dx = \int_{0}^{2} x\Bigl(\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}x\Bigr)dx.
Separando termos,
\mu = \frac{1}{8}\int_{0}^{2} x\,dx + \frac{3}{8}\int_{0}^{2} x^2\,dx = \frac{1}{8}\,\frac{2^2}{2} + \frac{3}{8}\,\frac{2^3}{3} = \frac{2}{8} + \frac{8}{8} = \frac{5}{4}.

Passo 3

Agora E[X^2]:
E[X^2] = \int_{0}^{2} x^2\,f(x)\,dx = \int_{0}^{2} x^2\Bigl(\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}x\Bigr)dx = \frac{1}{8}\int_{0}^{2} x^2\,dx + \frac{3}{8}\int_{0}^{2} x^3\,dx.
Isso dá
E[X^2] = \frac{1}{8}\,\frac{2^3}{3} + \frac{3}{8}\,\frac{2^4}{4} = \frac{8}{24} + \frac{3\cdot16}{32} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6}.

Passo 4

A variância fica
\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - \mu^2 = \frac{11}{6} - \Bigl(\frac{5}{4}\Bigr)^{2} = \frac{11}{6} - \frac{25}{16} = \frac{26}{96} = \frac{13}{48}.
Logo o desvio padrão é
\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{\frac{13}{48}}.

Passo 5

Finalmente, o coeficiente de variação é
CV = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{\sqrt{\tfrac{13}{48}}}{\tfrac{5}{4}} = \frac{4}{5}\,\sqrt{\frac{13}{48}} = \frac{\sqrt{39}}{15} \approx 0,416.

Resposta

O coeficiente de variação é
CV = \frac{\sqrt{39}}{15} \approx 0,416.

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