X é uma v. a. discreta, tal que:
X -1 0 2
\mathrm{P}(\mathrm{X}) 0,3 0,2 0,5
a) (1 ponto) Determine a função probabilidade cumulativa
b) (2 pontos) Determine a média, a mediana, a moda e o coeficiente de variação

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória discreta com suporte \{-1,0,2\} e probabilidades
\,P(X=-1)=0,3, P(X=0)=0,2, P(X=2)=0,5.
Precisamos encontrar
  1. a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x),
  2. a média, a mediana, a moda e o coeficiente de variação.

Passo 2

Para construir a CDF usamos F(x)=P(X\le x). Avaliamos em cada região:
– Se x< -1 então F(x)=0.
– Se -1\le x<0 então só X=-1 contribui, logo
F(x)=P(X=-1)=0,3.
– Se 0\le x<2 então X=-1 e X=0 contribuem, logo
F(x)=0,3+0,2=0,5.
– Se x\ge2 então todas as massas entram e
F(x)=1.
Em forma de peça:
F(x)= \begin{cases} 0, & x< -1,\\\\ 0,3, & -1\le x<0,\\\\ 0,5, & 0\le x<2,\\\\ 1, & x\ge2. \end{cases}

Passo 3

A média é
E[X] =\sum_{x}x\,P(X=x) =(-1)\cdot0,3+0\cdot0,2+2\cdot0,5 =-0,3+1 =0,7.

Passo 4

Para a variância calculamos primeiro
E[X^2] =(-1)^2\cdot0,3+0^2\cdot0,2+2^2\cdot0,5 =0,3+0+2 =2,3.
Então
\mathrm{Var}(X) =E[X^2]-(E[X])^2 =2,3-(0,7)^2 =2,3-0,49 =1,81,
\sigma =\sqrt{1,81}\approx1,345 \quad\text{e}\quad \mathrm{CV} =\frac{\sigma}{|E[X]|} \approx\frac{1,345}{0,7} \approx1,92.

Passo 5

A mediana é o menor valor m tal que F(m)\ge0,5. Como F(-1)=0,3 e F(0)=0,5, a mediana é
0.
A moda é o valor de X de maior probabilidade, que aqui é
2\quad(\text{pois }P(X=2)=0,5\text{ é a maior}).é

Resposta

a)
F(x)= \begin{cases} 0, & x< -1,\\\\ 0,3, & -1\le x<0,\\\\ 0,5, & 0\le x<2,\\\\ 1, & x\ge2. \end{cases}
b)
E[X]=0,7, mediana =0, moda =2, coeficiente de variação \approx1,92.

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