(6 pontos) Para quais valores da constante c a função f é contínua em (-infty,+infty)
f(x)=ll c x^2+2 x, & se x<2 x^3-c x, & se x >= 2

Passo 1

O enunciado apresenta uma função por partes
f(x)= c,x^2+2x, & x<2, x^3-c,x, & x>=2,
e pede os valores de c que tornam f contínua em todo R. O conteúdo aqui é continuidade de funções por partes: polinômios são sempre contínuos em seus domínios, então só precisamos garantir continuidade no ponto de “quebra”, que é x=2.

Passo 2

Observamos que ambos os ramos, c,x^2+2x e x^3-c,x, são polinômios e, portanto, contínuos em qualquer ponto onde estejam definidos. Assim, não há restrições de continuidade para x<2 nem para x>2.

Passo 3

Para que f seja contínua em x=2, precisamos que
limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x)=f(2)
Calculando o limite pela esquerda e o valor em 2 pelo ramo da direita:
limite pela esquerda
limxto2^-f(x)=ccdot2^2+2cdot2=4c+4,
limite pela direita (que é também f(2))
limxto2^+f(x)=2^3-ccdot2=8-2c
Igualando esses valores para garantir continuidade:
4c+4=8-2c
6c=4
c=23

Resposta

c=23

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