Questão 0.1. (vale 6,0) Sejam a, b, c in R. Mostre que:
a cdot(-b)=(-a) cdot b=-(a cdot b)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para quaisquer a,binR, que
acdot(-b)=(-a)cdot b=-(acdot b)
O conteúdo usado será as propriedades do corpo dos reais: inverso aditivo, distributividade e que 0 é o elemento neutro da adição e da multiplicação por zero.

Passo 2

Mostramos primeiro que
acdot(-b)=-(acdot b)
Como b+(-b)=0, multiplicamos essa igualdade por a:
al(b+(-b)r)=acdot 0
Pela distributividade segue
a b + a(-b)=0,
e como acdot0=0, concluímos que a(-b) é o inverso aditivo de a b. Logo
acdot(-b)=-(acdot b)

Passo 3

Agora mostramos que
(-a)cdot b=-(acdot b)
Como (-a)+a=0, multiplicamos por b:
l((-a)+ar)b=0cdot b
Pela distributividade obtém-se
(-a)b + a b=0,
e como 0cdot b=0, segue que (-a)b é o inverso aditivo de a b. Portanto
(-a)cdot b=-(acdot b)

Passo 4

De acdot(-b)=-(acdot b) e (-a)cdot b=-(acdot b) segue, pela transitividade da igualdade, que
acdot(-b)=(-a)cdot b=-(acdot b)

Resposta

,acdot(-b)=(-a)cdot b=-(acdot b)

Exercícios relacionados