9 (Unifesp) Um gato tem cerca de 100 vezes a massa de um rato, porém, sua taxa metabólica é, aproximadamente, 31 vezes a de um rato. Observações experimentais permitiram que, em 1932, Max Kleiber formulasse empiricamente uma lei relacionando a taxa metabólica basal B de um animal, em quilocalorias por dia (kcal por dia), e sua massa M, em quilogramas (kg). Tal lei é dada pela fórmula B=k cdot M^34, sendo k uma constante real.
a) Determine o valor de k , sabendo que a lei de Kleiber se aplica a um animal de massa igual a 16 kg e taxa metabólica basal de 600 kcal por dia.
b) Considere que a lei de Kleiber se aplique para um animal pequeno P e para um animal grande G, com a mesma constante real k. Sabendo que a massa de G, em kg, é 10^6 vezes a massa de P, calcule a razão entre as taxas metabólicas basais de G e de P, ou seja, BGBP, utilizando os dados da tabela
no cálculo final. no cálculo final.
x 0,5 0,5625 0,75 4,5 5 10 10,25 10,75 31,623
c|c|c|c|c|c|c|c|c|c hline x & 0,5 & 0,5625 & 0,75 & 4,5 & 5 & 10 & 10,25 & 10,75 & 31,623 hline$raizx$ & 0,7071 & 0,75 & 0,8660 & 2,1213 & 2,2361 & 3,1623 & 3,2016 & 3,2787 & 5,6234 hline 0,7071 0,75 0,8660 2,1213 2,2361 3,1623 3,2016 3,2787 5,6234
a) 75 kcaldia cdot raiz[4]kg^3
b) 31623

Passo 1

O enunciado apresenta a lei de Kleiber
B = k,M^tfrac34,
onde B é a taxa metabólica basal (kcal/dia) e M a massa (kg).
Na parte (a) devemos encontrar k sabendo M=16 e B=600.
Na parte (b) queremos a razão
tfracBGBP para MG=10^6,MP.

Passo 2

Isolando k em
B = k,M^tfrac34
temos
k = BM^tfrac34
Substituindo B=600 e M=16:
16^tfrac34 = (2^4)^tfrac34 = 2^3 = 8,
logo
k = 6008 = 75

Passo 3

Para a razão entre as taxas metabólicas
BGBP = k,MG^tfrac34k,MP^tfrac34 = l(MGMPr)^tfrac34 = (10^6)^tfrac34

Passo 4

Usando propriedades de potências:
(10^6)^tfrac34 = 10^6cdottfrac34 = 10^4,5 = 10^4 cdot 10^0,5
Da tabela, 10^0,5 = raiz10approx3,1623.
Assim
BGBP = 10^4 times 3,1623 = 31,623

Resposta

a) k = 75 kcal/(di acdot k g^3/4)
b) BGBPapprox31,623

Exercícios relacionados