$y^{\prime(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=3+\cos 2 t
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de ordem quatro
e pede a solução geral
(ou seja, todas as funções
que satisfazem essa equação). Informações relevantes: o membro direito é a soma de uma constante
e de uma função periódica
. Não há outras condições iniciais fornecidas, então procuraremos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (a parte “sem o lado direito”), pois a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com uma solução particular:
Para equações lineares com coeficientes constantes fazemos a substituição padrão
. Isso leva à equação característica em
:
Para facilitar, faça
. Então obtemos
Essa é uma quadrática perfeita:
, logo
com multiplicidade
. Voltando a
, temos
Cada uma dessas raízes complexas aparece com multiplicidade
(porque
era dupla). Agora explico como transformar isso em soluções reais: para uma raiz complexa
de multiplicidade
, as soluções reais são
até potências de
de grau
. Aqui
,
, e
. Portanto uma base de soluções reais para a homogênea é
Assim a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa
Usaremos o método dos coeficientes a determinar (ele funciona bem quando o lado direito é combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos). A ideia é tentar uma forma para
semelhante ao lado direito e ajustar coeficientes.
Separemos o lado direito em duas partes:
e
. Procuraremos
com
resolvendo para
e
para
.
Passo 4
Parte 1: particular para a constante
. Fazemos a suposição mais simples: tentar uma constante
onde
é constante a determinar. As derivadas de
são zero, então ao substituir na equação obtemos
Observação didática: devemos checar ressonância — ou seja, se uma constante estivesse já contida na solução homogênea. Aqui a homogênea tem apenas combinações de
,
e seus múltiplos por
, não uma constante pura, então não há necessidade de multiplicar por
. Portanto
Passo 5
Parte 2: particular para
. Como o termo é um seno/cosseno de frequência
, tentamos
com
a determinar. Vamos calcular as derivadas úteis de
:
Substituindo na equação à esquerda obtemos
Queremos que isso seja igual a
. Portanto
Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema
Logo
e
. Assim
Passo 6
Somando as partes particulares:
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Substitua
e
obtidos para escrever a solução final.