$y^{\prime(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=3+\cos 2 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de ordem quatro
y^{(4)} + 2y'' + y = 3 + \cos 2t
e pede a solução geral y(t) (ou seja, todas as funções y que satisfazem essa equação). Informações relevantes: o membro direito é a soma de uma constante 3 e de uma função periódica \cos 2t. Não há outras condições iniciais fornecidas, então procuraremos a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (a parte “sem o lado direito”), pois a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com uma solução particular:
y^{(4)} + 2y'' + y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes fazemos a substituição padrão y=e^{rt}. Isso leva à equação característica em r:
r^4 + 2r^2 + 1 = 0.
Para facilitar, faça s=r^2. Então obtemos
s^2 + 2s + 1 = 0.
Essa é uma quadrática perfeita: (s+1)^2=0, logo
s=-1
com multiplicidade 2. Voltando a r, temos
r^2 = -1 \quad\Rightarrow\quad r = i \quad\text{ou}\quad r=-i.
Cada uma dessas raízes complexas aparece com multiplicidade 2 (porque s=-1 era dupla). Agora explico como transformar isso em soluções reais: para uma raiz complexa \alpha\pm i\beta de multiplicidade m, as soluções reais são
e^{\alpha t}\cos(\beta t),\; e^{\alpha t}\sin(\beta t),\; t e^{\alpha t}\cos(\beta t),\; t e^{\alpha t}\sin(\beta t),\;\dots
até potências de t de grau m-1. Aqui \alpha=0, \beta=1, e m=2. Portanto uma base de soluções reais para a homogênea é
\cos t,\quad \sin t,\quad t\cos t,\quad t\sin t.
Assim a solução geral da homogênea é
y_h(t) = \big(C_1 + C_2 t\big)\cos t + \big(C_3 + C_4 t\big)\sin t,
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(t) da equação completa
y^{(4)} + 2y'' + y = 3 + \cos 2t.
Usaremos o método dos coeficientes a determinar (ele funciona bem quando o lado direito é combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos). A ideia é tentar uma forma para y_p semelhante ao lado direito e ajustar coeficientes.
Separemos o lado direito em duas partes: 3 e \cos 2t. Procuraremos y_p = y_{p1} + y_{p2} com y_{p1} resolvendo para 3 e y_{p2} para \cos 2t.

Passo 4

Parte 1: particular para a constante 3. Fazemos a suposição mais simples: tentar uma constante
y_{p1}(t)=A,
onde A é constante a determinar. As derivadas de y_{p1} são zero, então ao substituir na equação obtemos
0 + 2\cdot 0 + A = 3 \quad\Rightarrow\quad A=3.
Observação didática: devemos checar ressonância — ou seja, se uma constante estivesse já contida na solução homogênea. Aqui a homogênea tem apenas combinações de \cos t, \sin t e seus múltiplos por t, não uma constante pura, então não há necessidade de multiplicar por t. Portanto
y_{p1}(t)=3.

Passo 5

Parte 2: particular para \cos 2t. Como o termo é um seno/cosseno de frequência 2, tentamos
y_{p2}(t)=a\cos 2t + b\sin 2t,
com a,b a determinar. Vamos calcular as derivadas úteis de y_{p2}:
y_{p2}'' = -4(a\cos 2t + b\sin 2t) = -4y_{p2},
y_{p2}^{(4)} = 16(a\cos 2t + b\sin 2t) = 16y_{p2}.
Substituindo na equação à esquerda obtemos
y_{p2}^{(4)} + 2y_{p2}'' + y_{p2} = 16y_{p2} + 2(-4y_{p2}) + y_{p2} = (16 - 8 + 1)y_{p2} = 9y_{p2}.
Queremos que isso seja igual a \cos 2t. Portanto
9(a\cos 2t + b\sin 2t) = \cos 2t.
Igualando coeficientes de \cos 2t e \sin 2t obtemos o sistema
9a = 1,\qquad 9b = 0.
Logo a=\dfrac{1}{9} e b=0. Assim
y_{p2}(t)=\frac{1}{9}\cos 2t.

Passo 6

Somando as partes particulares:
y_p(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t)=3+\frac{1}{9}\cos 2t.
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
Substitua y_h e y_p obtidos para escrever a solução final.

Resposta

y(t)=\big(C_1 + C_2 t\big)\cos t + \big(C_3 + C_4 t\big)\sin t + 3 + \frac{1}{9}\cos 2t

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