(2,0 pontos )
a. (0,5) Verifique o critério de convergência o sistema linear seguinte e comente o resultado obtido.
b. (0,5) Aplique o Método de Jacobi, com x 0=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top}, para resolver o seguinte sistema linear. Faça duas iterações.
c. (0,5) Aplique o Método de Gauss-Seidel, com x 0=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top}, para resolver o seguinte sistema linear. Faça duas iterações.
d. (0,5) Sabendo-se que a solução exata é x^{*}=\left[\begin{array}{llll}1.56521739 & 0.15942029 & -1.13043478\end{array}\right]^{\top}, calcule o erro da solução de cada método em relação à resposta exata e explique o comportamento observado ao utilizar os dois métodos. Foi o comportamento esperado? Explique sua resposta. tolerância =\varepsilon=0,0000001
Obs.: Utilize nos seus cálculos 6 casas decimais.
As perguntas são:
a. Verificar o critério de convergência do sistema linear e comentar o resultado.
b. Aplicar o Método de Jacobi com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}^{\top} e fazer duas iterações (usar 6 casas decimais).
c. Aplicar o Método de Gauss–Seidel com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}^{\top} e fazer duas iterações (usar 6 casas decimais).
d. Dada a solução exata \displaystyle x^{*}=\begin{pmatrix}1,56521739\\[2pt]0,15942029\\[2pt]-1,13043478\end{pmatrix}, calcular o erro da solução de cada método em relação a x^{*} e explicar o comportamento observado. A tolerância é \varepsilon=0,0000001. Usar 6 casas decimais nos cálculos.]
Passo 2
Critério de convergência usado e por que: uma condição simples e suficiente para garantir convergência dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss–Seidel é a dominância diagonal estrita por linhas. Definição: uma matriz A=(a_{ij}) é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se isso ocorrer, tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para a solução linear a partir de qualquer aproximação inicial.
Verificação linha a linha (eu uso os coeficientes da matriz A mostrados no Passo 1):
Linha 1: a_{11}=1 e soma dos outros módulos |0|+|0,5|=0,5. Logo
|a_{11}|=1>0,5=\sum_{j\neq1}|a_{1j}|.
Linha 2: a_{22}=-18 e soma dos outros módulos |6|+|4|=10. Logo
|a_{22}|=18>10=\sum_{j\neq2}|a_{2j}|.
Linha 3: a_{33}=-4,5 e soma dos outros módulos |-1|+|3|=4. Logo
|a_{33}|=4,5>4=\sum_{j\neq3}|a_{3j}|.
Comentário: todas as linhas são estritamente diagonalmente dominantes, portanto a matriz A satisfaz a condição suficiente e ambos os métodos (Jacobi e Gauss–Seidel) irão convergir para a solução x^{*} a partir de qualquer x^{(0)}. Esse é o resultado esperado e é uma garantia teórica de convergência.
Passo 3
Explicando o Método de Jacobi (fórmula e aplicação ao sistema): no Jacobi isolamos cada x_i na equação Ax=b usando apenas os valores da iteração anterior para as x_j com j\neq i. Para nosso sistema, isolando cada variável:
No Jacobi, para calcular x^{(k+1)} usamos somente os valores x^{(k)} em todas as três fórmulas (atualização simultânea). Vou aplicar isso agora com x^{(0)}=(0,0,0)^\top e arredondar cada componente a 6 casas decimais conforme pedido.
Passo 4
Jacobi — Iteração 1 (k=0\to1), com x^{(0)}=(0,0,0)^\top:
Explicando o Método de Gauss–Seidel (diferença fundamental): no Gauss–Seidel também isolamos as x_i, mas ao calcular x_i^{(k+1)} já usamos as componentes já atualizadas x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} e as não atualizadas x_{i+1}^{(k)},\dots. Isso normalmente acelera a convergência porque incorpora imediatamente a informação mais nova.
As fórmulas para as atualizações são as mesmas do Jacobi, mas aplicadas sequencialmente com substituição imediata.
Passo 7
Gauss–Seidel — Iteração 1 (k=0\to1), com x^{(0)}=(0,0,0)^\top:
Cálculo do erro em relação à solução exata \displaystyle x^{*}=\begin{pmatrix}1,56521739\\[2pt]0,15942029\\[2pt]-1,13043478\end{pmatrix}. Vou calcular o vetor erro e=x^{(2)}-x^{*} para cada método e usar a norma infinito (erro máximo absoluto por componente), que é um indicador simples e comum para comparar aproximações.
Interpretação e comportamento observado: após duas iterações o erro do Gauss–Seidel (0,083736) é menor que o erro do Jacobi (0,134729). Isso era esperado: o método de Gauss–Seidel costuma convergir mais rapidamente que Jacobi porque usa, dentro da mesma iteração, as componentes já atualizadas, aproveitando informação mais recente. Como a matriz é estritamente diagonalmente dominante, ambos os métodos convergem, mas GS geralmente dá aproximações melhores por iteração. Observação final: nenhuma das iterações atingiu a tolerância \varepsilon=10^{-7} (ainda está longe), então seriam necessárias mais iterações para chegar à precisão pedida.]
Resposta
a. A matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas (verificação: 1>0,5, 18>10, 4,5>4), logo tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem.
b. Jacobi: x^{(1)}=\begin{pmatrix}1,000000\\[2pt]-0,111111\\[2pt]-0,888889\end{pmatrix}, \;x^{(2)}=\begin{pmatrix}1,444445\\[2pt]0,024691\\[2pt]-1,185185\end{pmatrix}.
c. Gauss–Seidel: x^{(1)}=\begin{pmatrix}1,000000\\[2pt]0,222222\\[2pt]-0,962962\end{pmatrix}, \;x^{(2)}=\begin{pmatrix}1,481481\\[2pt]0,168724\\[2pt]-1,105624\end{pmatrix}.
d. Erros (norma infinito) em relação a x^{*}: Jacobi: \|e\|_{\infty}=0,134729. Gauss–Seidel: \|e\|_{\infty}=0,083736. Comentário: Gauss–Seidel converge mais rápido (erro menor após 2 iterações), comportamento esperado dada a dominância diagonal; nenhuma das iterações atingiu a tolerância \varepsilon=0,0000001.]