(2,0 pontos )
a. (0,5) Verifique o critério de convergência o sistema linear seguinte e comente o resultado obtido.
b. (0,5) Aplique o Método de Jacobi, com x 0=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top}, para resolver o seguinte sistema linear. Faça duas iterações.
c. (0,5) Aplique o Método de Gauss-Seidel, com x 0=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top}, para resolver o seguinte sistema linear. Faça duas iterações.
d. (0,5) Sabendo-se que a solução exata é x^{*}=\left[\begin{array}{llll}1.56521739 & 0.15942029 & -1.13043478\end{array}\right]^{\top}, calcule o erro da solução de cada método em relação à resposta exata e explique o comportamento observado ao utilizar os dois métodos. Foi o comportamento esperado? Explique sua resposta. tolerância =\varepsilon=0,0000001
Obs.: Utilize nos seus cálculos 6 casas decimais.
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0.5 \\ 6 & -18 & 4 \\ -1 & 3 & -4.5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre o sistema linear
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,5\\[2pt] 6 & -18 & 4\\[2pt] -1 & 3 & -4,5 \end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]4\end{pmatrix}.
As perguntas são:
a. Verificar o critério de convergência do sistema linear e comentar o resultado.
b. Aplicar o Método de Jacobi com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}^{\top} e fazer duas iterações (usar 6 casas decimais).
c. Aplicar o Método de Gauss–Seidel com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}^{\top} e fazer duas iterações (usar 6 casas decimais).
d. Dada a solução exata \displaystyle x^{*}=\begin{pmatrix}1,56521739\\[2pt]0,15942029\\[2pt]-1,13043478\end{pmatrix}, calcular o erro da solução de cada método em relação a x^{*} e explicar o comportamento observado. A tolerância é \varepsilon=0,0000001. Usar 6 casas decimais nos cálculos.]

Passo 2

Critério de convergência usado e por que: uma condição simples e suficiente para garantir convergência dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss–Seidel é a dominância diagonal estrita por linhas. Definição: uma matriz A=(a_{ij}) é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se isso ocorrer, tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para a solução linear a partir de qualquer aproximação inicial.
Verificação linha a linha (eu uso os coeficientes da matriz A mostrados no Passo 1):
Linha 1: a_{11}=1 e soma dos outros módulos |0|+|0,5|=0,5. Logo
|a_{11}|=1>0,5=\sum_{j\neq1}|a_{1j}|.
Linha 2: a_{22}=-18 e soma dos outros módulos |6|+|4|=10. Logo
|a_{22}|=18>10=\sum_{j\neq2}|a_{2j}|.
Linha 3: a_{33}=-4,5 e soma dos outros módulos |-1|+|3|=4. Logo
|a_{33}|=4,5>4=\sum_{j\neq3}|a_{3j}|.
Comentário: todas as linhas são estritamente diagonalmente dominantes, portanto a matriz A satisfaz a condição suficiente e ambos os métodos (Jacobi e Gauss–Seidel) irão convergir para a solução x^{*} a partir de qualquer x^{(0)}. Esse é o resultado esperado e é uma garantia teórica de convergência.

Passo 3

Explicando o Método de Jacobi (fórmula e aplicação ao sistema): no Jacobi isolamos cada x_i na equação Ax=b usando apenas os valores da iteração anterior para as x_j com j\neq i. Para nosso sistema, isolando cada variável:
Da primeira equação:
1\cdot x_1+0\cdot x_2+0,5\cdot x_3=1\quad\Rightarrow\quad x_1=1-0,5\,x_3.
Da segunda equação:
6x_1-18x_2+4x_3=2\quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{6x_1+4x_3-2}{18}.
Da terceira equação:
-1x_1+3x_2-4,5x_3=4\quad\Rightarrow\quad x_3=\frac{-4-x_1+3x_2}{4,5}.
No Jacobi, para calcular x^{(k+1)} usamos somente os valores x^{(k)} em todas as três fórmulas (atualização simultânea). Vou aplicar isso agora com x^{(0)}=(0,0,0)^\top e arredondar cada componente a 6 casas decimais conforme pedido.

Passo 4

Jacobi — Iteração 1 ( k=0\to1), com x^{(0)}=(0,0,0)^\top:
x_1^{(1)}=1-0,5\cdot x_3^{(0)}=1-0,5\cdot0=1\quad\Rightarrow\quad x_1^{(1)}=1,000000.
x_2^{(1)}=\frac{6\cdot x_1^{(0)}+4\cdot x_3^{(0)}-2}{18}=\frac{0+0-2}{18}=-0,111111\\ (\text{6 casas}).
x_3^{(1)}=\frac{-4-x_1^{(0)}+3x_2^{(0)}}{4,5}=\frac{-4-0+0}{4,5}=-0,888889\\ (\text{6 casas}).
Portanto
x^{(1)}_{\text{Jacobi}}=\begin{pmatrix}1,000000\\[2pt]-0,111111\\[2pt]-0,888889\end{pmatrix}.]

Passo 5

Jacobi — Iteração 2 ( k=1\to2), uso os valores de x^{(1)} simultaneamente:
x_1^{(2)}=1-0,5\cdot x_3^{(1)}=1-0,5\cdot(-0,888889)=1+0,4444445=1,444445\\ (\text{6 casas}).
x_2^{(2)}=\frac{6\cdot x_1^{(1)}+4\cdot x_3^{(1)}-2}{18} =\frac{6\cdot1,000000+4\cdot(-0,888889)-2}{18} =\frac{6-3,555556-2}{18}=\frac{0,444444}{18}=0,024691\\ (\text{6 casas}).
x_3^{(2)}=\frac{-4-x_1^{(1)}+3x_2^{(1)}}{4,5} =\frac{-4-1,000000+3\cdot(-0,111111)}{4,5} =\frac{-5-0,333333}{4,5}=\frac{-5,333333}{4,5}=-1,185185\\ (\text{6 casas}).
Portanto, após duas iterações de Jacobi:
x^{(2)}_{\text{Jacobi}}=\begin{pmatrix}1,444445\\[2pt]0,024691\\[2pt]-1,185185\end{pmatrix}.]

Passo 6

Explicando o Método de Gauss–Seidel (diferença fundamental): no Gauss–Seidel também isolamos as x_i, mas ao calcular x_i^{(k+1)} já usamos as componentes já atualizadas x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} e as não atualizadas x_{i+1}^{(k)},\dots. Isso normalmente acelera a convergência porque incorpora imediatamente a informação mais nova.
As fórmulas para as atualizações são as mesmas do Jacobi, mas aplicadas sequencialmente com substituição imediata.

Passo 7

Gauss–Seidel — Iteração 1 ( k=0\to1), com x^{(0)}=(0,0,0)^\top:
Calcule x_1^{(1)} usando x_3^{(0)}:
x_1^{(1)}=1-0,5\cdot x_3^{(0)}=1.
Calcule x_2^{(1)} usando x_1^{(1)} e x_3^{(0)}:
x_2^{(1)}=\frac{6\cdot x_1^{(1)}+4\cdot x_3^{(0)}-2}{18}=\frac{6\cdot1+0-2}{18}=\frac{4}{18}=0,222222\\ (\text{6 casas}).
Calcule x_3^{(1)} usando x_1^{(1)} e x_2^{(1)}:
x_3^{(1)}=\frac{-4-x_1^{(1)}+3x_2^{(1)}}{4,5} =\frac{-4-1+3\cdot0,222222}{4,5} =\frac{-5+0,666666}{4,5}=\frac{-4,333334}{4,5}=-0,962962\\ (\text{6 casas}).
Portanto
x^{(1)}_{\text{GS}}=\begin{pmatrix}1,000000\\[2pt]0,222222\\[2pt]-0,962962\end{pmatrix}.]

Passo 8

Gauss–Seidel — Iteração 2 ( k=1\to2), atualização sequencial com substituição imediata:
Calcule x_1^{(2)} usando x_3^{(1)}:
x_1^{(2)}=1-0,5\cdot x_3^{(1)}=1-0,5\cdot(-0,962962)=1+0,481481=1,481481\\ (\text{6 casas}).
Calcule x_2^{(2)} usando x_1^{(2)} e x_3^{(1)}:
x_2^{(2)}=\frac{6\cdot x_1^{(2)}+4\cdot x_3^{(1)}-2}{18} =\frac{6\cdot1,481481+4\cdot(-0,962962)-2}{18} =\frac{8,888886-3,851848-2}{18}=\frac{3,037038}{18}=0,168724\\ (\text{6 casas}).
Calcule x_3^{(2)} usando x_1^{(2)} e x_2^{(2)}:
x_3^{(2)}=\frac{-4-x_1^{(2)}+3x_2^{(2)}}{4,5} =\frac{-4-1,481481+3\cdot0,168724}{4,5} =\frac{-5,481481+0,506172}{4,5}=\frac{-4,975309}{4,5}=-1,105624\\ (\text{6 casas}).
Portanto, após duas iterações de Gauss–Seidel:
x^{(2)}_{\text{GS}}=\begin{pmatrix}1,481481\\[2pt]0,168724\\[2pt]-1,105624\end{pmatrix}.]

Passo 9

Cálculo do erro em relação à solução exata \displaystyle x^{*}=\begin{pmatrix}1,56521739\\[2pt]0,15942029\\[2pt]-1,13043478\end{pmatrix}. Vou calcular o vetor erro e=x^{(2)}-x^{*} para cada método e usar a norma infinito (erro máximo absoluto por componente), que é um indicador simples e comum para comparar aproximações.
Erro do Jacobi (usando x^{(2)}_{\text{Jacobi}}):
e_{\text{Jacobi}}=x^{(2)}_{\text{Jacobi}}-x^{*} =\begin{pmatrix} 1,444445-1,56521739\\[2pt] 0,024691-0,15942029\\[2pt] -1,185185-(-1,13043478) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}-0,120772\\[2pt]-0,134729\\[2pt]-0,054750\end{pmatrix}.
Norma infinito:
\|e_{\text{Jacobi}}\|_{\infty}=\max\{0,120772,\;0,134729,\;0,054750\}=0,134729.
Erro do Gauss–Seidel (usando x^{(2)}_{\text{GS}}):
e_{\text{GS}}=x^{(2)}_{\text{GS}}-x^{*} =\begin{pmatrix} 1,481481-1,56521739\\[2pt] 0,168724-0,15942029\\[2pt] -1,105624-(-1,13043478) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}-0,083736\\[2pt]0,009304\\[2pt]0,024811\end{pmatrix}.
Norma infinito:
\|e_{\text{GS}}\|_{\infty}=\max\{0,083736,\;0,009304,\;0,024811\}=0,083736.
Interpretação e comportamento observado: após duas iterações o erro do Gauss–Seidel ( 0,083736) é menor que o erro do Jacobi ( 0,134729). Isso era esperado: o método de Gauss–Seidel costuma convergir mais rapidamente que Jacobi porque usa, dentro da mesma iteração, as componentes já atualizadas, aproveitando informação mais recente. Como a matriz é estritamente diagonalmente dominante, ambos os métodos convergem, mas GS geralmente dá aproximações melhores por iteração. Observação final: nenhuma das iterações atingiu a tolerância \varepsilon=10^{-7} (ainda está longe), então seriam necessárias mais iterações para chegar à precisão pedida.]

Resposta

a. A matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas (verificação: 1>0,5, 18>10, 4,5>4), logo tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem.
b. Jacobi: x^{(1)}=\begin{pmatrix}1,000000\\[2pt]-0,111111\\[2pt]-0,888889\end{pmatrix}, \;x^{(2)}=\begin{pmatrix}1,444445\\[2pt]0,024691\\[2pt]-1,185185\end{pmatrix}.
c. Gauss–Seidel: x^{(1)}=\begin{pmatrix}1,000000\\[2pt]0,222222\\[2pt]-0,962962\end{pmatrix}, \;x^{(2)}=\begin{pmatrix}1,481481\\[2pt]0,168724\\[2pt]-1,105624\end{pmatrix}.
d. Erros (norma infinito) em relação a x^{*}: Jacobi: \|e\|_{\infty}=0,134729. Gauss–Seidel: \|e\|_{\infty}=0,083736. Comentário: Gauss–Seidel converge mais rápido (erro menor após 2 iterações), comportamento esperado dada a dominância diagonal; nenhuma das iterações atingiu a tolerância \varepsilon=0,0000001.]

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