(2 pontos) Classifique a EDO em sepável, exata e/ou linear. Justifique sua resposta e resolva:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a EDO
como separável, exata e/ou linear, justificar e então resolver. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de forma diferencial
.
Passo 2
Verificamos se é separável escrevendo
Isso nos permite separar variáveis:
Passo 3
Para testar exatidão, notamos que
Calculamos
Como
, a EDO não é exata.
Passo 4
Para ser linear em
, precisaríamos de forma
Aqui
não se encaixa nesse padrão (o termo em
está no denominador), então não é linear.
Passo 5
Já que é separável, integramos ambos os lados:
Passo 6
Calculamos as integrais:
Portanto
Passo 7
Multiplicando por 2 e reorganizando, obtemos a solução geral implícita:
ou, de forma mais compacta,
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A EDO é apenas separável (não exata nem linear).
Solução geral:
Solução geral: