(2 pontos) Classifique a EDO em sepável, exata e/ou linear. Justifique sua resposta e resolva:
x d x+y \mathrm{e}^{-x} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a EDO
x\,dx + y e^{-x}\,dy = 0
como separável, exata e/ou linear, justificar e então resolver. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.

Passo 2

Verificamos se é separável escrevendo
\frac{dy}{dx} = -\frac{M(x,y)}{N(x,y)} = -\frac{x}{y e^{-x}} = -\frac{x e^{x}}{y}.
Isso nos permite separar variáveis:
y\,dy = -\,x e^{x}\,dx.

Passo 3

Para testar exatidão, notamos que
M(x,y)=x,\quad N(x,y)=y e^{-x}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y e^{-x}) = -y e^{-x}.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a EDO não é exata.

Passo 4

Para ser linear em y, precisaríamos de forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Aqui \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x e^{x}}{y} não se encaixa nesse padrão (o termo em y está no denominador), então não é linear.

Passo 5

Já que é separável, integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int -\,x e^{x}\,dx.

Passo 6

Calculamos as integrais:
\int y\,dy = \frac{y^2}{2}, \qquad \int x e^{x}\,dx = x e^{x}-e^{x}.
Portanto
\frac{y^2}{2} = -\bigl(x e^{x}-e^{x}\bigr) + C = -x e^{x} + e^{x} + C.

Passo 7

Multiplicando por 2 e reorganizando, obtemos a solução geral implícita:
y^2 + 2 x e^{x} - 2 e^{x} = C',
ou, de forma mais compacta,
y^2 + 2 e^{x}(x-1) = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

A EDO é apenas separável (não exata nem linear).
Solução geral:
y^2 + 2\,e^{x}(x-1) = C.

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