2,5 pontos 2^a ) Verifique se W=(x, y, z) in R^3 ; x+z=0 e x-y+z=0 é um subespaço de R^3 com as operações usuais de soma e produto por escalar, sobre o corpo dos números reais.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
W = (x,y,z)inR^3 mid x+z=0 e x - y + z=0
e pede para verificar se W é subespaço de R^3. Lembrando que, num espaço vetorial, um subconjunto W é subespaço se satisfaz três condições:
  1. Wneqemptyset (contém o vetor nulo).
  2. Fechamento sob soma vetorial.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor nulo (0,0,0) pertence a W. Substituindo
x=0, y=0, z=0
em x+z=0 e x-y+z=0, obtemos
0+0=0 e 0-0+0=0,
logo (0,0,0)in W. Assim, Wneqemptyset.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob soma. Tomemos
u=(x1,y1,z1)in W, v=(x2,y2,z2)in W
Como u e v satisfazem as equações, temos
x1+z1=0,;x1-y1+z1=0, x2+z2=0,;x2-y2+z2=0
Então para u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) vale
(x1+x2)+(z1+z2) =(x1+z1)+(x2+z2)=0+0=0,
(x1+x2)-(y1+y2)+(z1+z2) =(x1-y1+z1)+(x2-y2+z2)=0+0=0
Logo u+vin W.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e u=(x,y,z)in W. Então
lambda u=(lambda x,;lambda y,;lambda z)
e
lambda x + lambda z = lambda(x+z)=lambdacdot0=0,
lambda x - lambda y + lambda z = lambda(x-y+z)=lambdacdot0=0
Portanto lambda uin W.

Resposta

Sim, W é um subespaço de R^3.

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