2,5 pontos
) Verifique se
e
é um subespaço de
com as operações usuais de soma e produto por escalar, sobre o corpo dos números reais.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
e pede para verificar se
é subespaço de
. Lembrando que, num espaço vetorial, um subconjunto
é subespaço se satisfaz três condições:
-
(contém o vetor nulo). - Fechamento sob soma vetorial.
- Fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor nulo
pertence a
. Substituindo
em
e
, obtemos
logo
. Assim,
.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob soma. Tomemos
Como
e
satisfazem as equações, temos
Então para
vale
Logo
.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
e
Portanto
.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.