Sejam W1=[lla & b c & b] tais que a=b e b=c e W2=[lla & b c & d] tais que a=c e b=d subspaços de M2 times 2(R).
(a) Determine W1 cap W2 e exiba uma base.
(b) Determine W1+W2. A soma é direta ? W1+W2=M2 times 2(R) ?

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de M2times2(R):
W1=la & b c & bmid a=b,;b=cr, W2=la & b c & dmid a=c,;b=dr
Pede-se em (a) a interseção W1cap W2 e uma base; em (b) a soma W1+W2, verificar se é direta e se é igual a todo M2times2(R).

Passo 2

Para caracterizar W1 aplicamos a=b e b=c. Assim toda matriz em W1 tem
a=b=c,
logo se escrever t=a ela é
M1=t & t t & t =,t1 & 1 1 & 1
Portanto dim W1=1 e uma base de W1 é
l1 & 1 1 & 1r

Passo 3

Para W2 impomos a=c e b=d. Assim toda matriz em W2 é
M2=a & b a & b = a1 & 0 1 & 0 + b0 & 1 0 & 1
Portanto dim W2=2 e uma base de W2 é
l1 & 0 1 & 0,; 0 & 1 0 & 1r

Passo 4

Para achar W1cap W2 exigimos que a matriz esteja em ambos. Como W1 exige todas as entradas iguais e W2 exige linhas iguais, o comum é
t & t t & t,
isto é exatamente W1. Logo
W1cap W2 =lt1 & 1 1 & 1r,
com base ,(1,1;1,1) e dimensão 1.

Passo 5

Para a soma W1+W2, tomamos
M1=u1 & 1 1 & 1in W1, M2=a & b a & bin W2
Então
M1+M2 =u+a & u+b u+a & u+b =x & y x & y,
onde x=u+a, y=u+b são arbitrários. Isso mostra
W1+W2 =lx & y x & yr = W2
Como dim(W1+W2)=2<4=dim M2times2(R), a soma não é todo M2times2(R). Além disso, W1cap W2neq0, logo a soma não é direta.

Resposta

(a) , base .\n
(b) . A soma não é direta e não é igual a .

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