Sejam
tais que
e
e
tais que
e
subspaços de
.
(a) Determine
e exiba uma base.
(b) Determine
. A soma é direta ?
?
(a) Determine
(b) Determine
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
Pede-se em (a) a interseção
e uma base; em (b) a soma
, verificar se é direta e se é igual a todo
.
Passo 2
Para caracterizar
aplicamos
e
. Assim toda matriz em
tem
logo se escrever
ela é
Portanto
dim W1=1 e uma base de
W1 é
Passo 3
Para
W2 impomos
a=c e
b=d . Assim toda matriz em
W2 é
Portanto
dim W2=2 e uma base de
W2 é
Passo 4
Para achar
W1cap W2 exigimos que a matriz esteja em ambos. Como
W1 exige todas as entradas iguais e
W2 exige linhas iguais, o comum é
isto é exatamente
W1 . Logo
com base
,(1,1;1,1) e dimensão
1 .
Passo 5
Para a soma
W1+W2 , tomamos
Então
onde
x=u+a ,
y=u+b são arbitrários. Isso mostra
Como
dim(W1+W2)=2<4=dim M2times2(R) , a soma não é todo
M2times2(R) . Além disso,
W1cap W2neq0 , logo a soma não é direta.
Resposta
(a)
, base
.\n
(b) . A soma não é direta e não é igual a .
(b) . A soma não é direta e não é igual a