2,5 pontos
) Seja
verifique se
com as operações usuais é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre
. O que precisamos testar são, em especial, o fechamento de
sob soma e sob multiplicação por escalar, já que os demais axiomas herdam-se de
.
Passo 2
Para
ser subespaço vetorial de
, deve valer:
- Se
então . - Se
e então .
Basta encontrar contraexemplos para mostrar que alguma dessas propriedades falha.
Passo 3
Contraexemplo para fechamento sob soma. Considere
Em ambos
portanto
. Mas
Para pertencer a
precisaríamos
, o que não ocorre. Logo
.
Passo 4
Contraexemplo para fechamento sob multiplicação por escalar. Tome
e
. Então
Para estar em
precisaríamos
, o que falha. Logo
.