2,5 pontos 1^ a ) Seja V=(x, y, z) in R^3 ; z=(x+y)^2 verifique se V com as operações usuais é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais.

Passo 1

O enunciado define
V = (x,y,z)inR^3 mid z=(x+y)^2
e pede para verificar se V, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre R. O que precisamos testar são, em especial, o fechamento de V sob soma e sob multiplicação por escalar, já que os demais axiomas herdam-se de R^3.

Passo 2

Para V ser subespaço vetorial de R^3, deve valer:
  1. Se u,vin V então u+vin V.
  2. Se uin V e lambdainR então lambda uin V.
Basta encontrar contraexemplos para mostrar que alguma dessas propriedades falha.

Passo 3

Contraexemplo para fechamento sob soma. Considere
u = (1,0,1), v = (0,1,1)
Em ambos
1 = (1+0)^2, 1 = (0+1)^2,
portanto u,vin V. Mas
u+v = (1,1,2)
Para pertencer a V precisaríamos 2 = (1+1)^2 = 4, o que não ocorre. Logo u+vnotin V.

Passo 4

Contraexemplo para fechamento sob multiplicação por escalar. Tome
u = (1,0,1)in V
e lambda = 2. Então
lambda u = (2,0,2)
Para estar em V precisaríamos 2 = (2+0)^2 = 4, o que falha. Logo lambda unotin V.

Resposta

V não é um espaço vetorial sobre R, pois falha o fechamento sob soma e sob multiplicação por escalar.

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