(2,0 pontos) Os vetores v_{1}=(1,2,-1,1), v_{2}=(2,-1,1,1), v_{3}=(1,2,1,-1) e v_{4}=(2,-2,1,-1) formam uma base do \mathbb{R}^{4} ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^4:
v_{1}=(1,2,-1,1),\quad v_{2}=(2,-1,1,1),\quad v_{3}=(1,2,1,-1),\quad v_{4}=(2,-2,1,-1),
e pergunta se eles formam uma base de \mathbb{R}^4. Para isso, precisamos verificar se são linearmente independentes (LI) e, por terem quatro vetores em um espaço de dimensão 4, LI implica que formam base. Faremos isso montando a matriz cujas linhas são esses vetores e checando se o determinante é não nulo via eliminação de Gauss.

Passo 2

Formamos a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1\\\\ 2 & -1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 1 & -1\\\\ 2 & -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Aplicamos operações de linha para triangularizar A. Primeiro, zeramos as entradas abaixo de a_{11}=1: L_2\leftarrow L_2-2L_1, L_3\leftarrow L_3-L_1, L_4\leftarrow L_4-2L_1.
Isso gera
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1\\\\ 0 & -5 & 3 & -1\\\\ 0 & 0 & 2 & -2\\\\ 0 & -6 & 3 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora, zeramos a entrada (4,2) usando a_{22}=-5: L_4\leftarrow L_4-\frac{6}{5}L_2.
Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1\\\\ 0 & -5 & 3 & -1\\\\ 0 & 0 & 2 & -2\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{3}{5} & -\tfrac{9}{5} \end{pmatrix}.

Passo 4

Por fim, usamos o pivô a_{33}=2 para zerar (4,3): L_4\leftarrow L_4+\tfrac{3}{10}L_3,
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1\\\\ 0 & -5 & 3 & -1\\\\ 0 & 0 & 2 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac{12}{5} \end{pmatrix}.
Todos os pivôs na diagonal principal são não nulos 1,-5,2,-\tfrac{12}{5}, logo \det(A)\neq0.

Passo 5

Como \det(A)\neq0, as linhas de A são LI. Portanto, v_1,v_2,v_3,v_4 são linearmente independentes em \mathbb{R}^4. Quatro vetores LI em um espaço de dimensão 4 formam uma base.

Resposta

Sim, eles formam uma base de \mathbb{R}^4 porque são linearmente independentes (determinante da matriz não nulo).

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