e pergunta se eles formam uma base de \mathbb{R}^4. Para isso, precisamos verificar se são linearmente independentes (LI) e, por terem quatro vetores em um espaço de dimensão 4, LI implica que formam base. Faremos isso montando a matriz cujas linhas são esses vetores e checando se o determinante é não nulo via eliminação de Gauss.
Aplicamos operações de linha para triangularizar A. Primeiro, zeramos as entradas abaixo de a_{11}=1: L_2\leftarrow L_2-2L_1, L_3\leftarrow L_3-L_1, L_4\leftarrow L_4-2L_1.
Isso gera
Todos os pivôs na diagonal principal são não nulos 1,-5,2,-\tfrac{12}{5}, logo \det(A)\neq0.
Passo 5
Como \det(A)\neq0, as linhas de A são LI. Portanto, v_1,v_2,v_3,v_4 são linearmente independentes em \mathbb{R}^4. Quatro vetores LI em um espaço de dimensão 4 formam uma base.
Resposta
Sim, eles formam uma base de \mathbb{R}^4 porque são linearmente independentes (determinante da matriz não nulo).