( 3,0 pontos) Considere o problema de maximizar
sujeito a
pelo método de Lagrange.
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(c) ( 1,0 ponto) Qual o impacto de um aumento marginal em
sobre o valor de
? Qual a relação desse impacto com o multiplicador de Lagrange?
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(c) ( 1,0 ponto) Qual o impacto de um aumento marginal em
Passo 1
O enunciado pede para maximizar
sujeito à restrição
onde
é um parâmetro.
O método de Lagrange vai exigir que verifiquemos (a) a qualificação de restrição, (b) as condições de primeira ordem a partir da construção do lagrangeano e (c) a análise do efeito marginal de sobre o valor ótimo
.
O método de Lagrange vai exigir que verifiquemos (a) a qualificação de restrição, (b) as condições de primeira ordem a partir da construção do lagrangeano e (c) a análise do efeito marginal de
Passo 2
Para a restrição
o gradiente é
Como
para todo
, a qualificação de restrição de Lagrange está satisfeita.
Passo 3
Formamos o lagrangeano
As condições de primeira ordem são
Da primeira equação vem
. Da segunda vem
. Igualando,
Usando na restrição
dá
Passo 4
Definindo a função ótima
calculamos o efeito marginal de
:
Por outro lado, no ótimo temos
Pelo teorema do envelope, esse
coincide com
.
Resposta
a) A qualificação está satisfeita pois
.
b) O candidato ótimo é
b) O candidato ótimo é
c) O efeito marginal é
e coincide com o multiplicador de Lagrange
.