( 3,0 pontos) Considere o problema de maximizar u(x, y)=\ln (x y) sujeito a x+2 y=z pelo método de Lagrange.
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(c) ( 1,0 ponto) Qual o impacto de um aumento marginal em z sobre o valor de u\left(x^{*}, y^{*}\right) ? Qual a relação desse impacto com o multiplicador de Lagrange?

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
u(x,y)=\ln(xy)
sujeito à restrição
x+2y=z,
onde z é um parâmetro.
O método de Lagrange vai exigir que verifiquemos (a) a qualificação de restrição, (b) as condições de primeira ordem a partir da construção do lagrangeano e (c) a análise do efeito marginal de z sobre o valor ótimo u(x^*,y^*).

Passo 2

Para a restrição
g(x,y)=x+2y-z=0
o gradiente é
\nabla g(x,y) = \bigl(1,\,2\bigr).
Como \nabla g(x,y)\neq(0,0) para todo (x,y), a qualificação de restrição de Lagrange está satisfeita.

Passo 3

Formamos o lagrangeano
\mathcal L(x,y,\lambda)=\ln(xy)+\lambda\bigl(z - x - 2y\bigr).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial\mathcal L}{\partial x}: \frac1x - \lambda = 0, \qquad \frac{\partial\mathcal L}{\partial y}: \frac1y - 2\lambda = 0, \qquad \frac{\partial\mathcal L}{\partial\lambda}: z - x - 2y = 0.
Da primeira equação vem \lambda=1/x. Da segunda vem \lambda=1/(2y). Igualando,
\frac1x = \frac1{2y} \quad\Longrightarrow\quad x = 2y.
Usando na restrição x+2y=z
2y + 2y = z \quad\Longrightarrow\quad y = \frac z4, \quad x = 2y = \frac z2.

Passo 4

Definindo a função ótima
u^*(z)=u\bigl(x^*(z),y^*(z)\bigr) =\ln\!\Bigl(\tfrac z2\cdot\tfrac z4\Bigr) =\ln\Bigl(\tfrac{z^2}{8}\Bigr) =2\ln z - \ln 8,
calculamos o efeito marginal de z:
\frac{d u^*}{d z} =2\cdot\frac1z =\frac{2}{z}.
Por outro lado, no ótimo temos
\lambda^*=\frac1{x^*}=\frac1{z/2}=\frac{2}{z}.
Pelo teorema do envelope, esse \frac{du^*}{dz} coincide com \lambda^*.

Resposta

a) A qualificação está satisfeita pois \nabla g=(1,2)\neq(0,0).
b) O candidato ótimo é
(x^*,y^*)=\Bigl(\tfrac z2,\tfrac z4\Bigr).
c) O efeito marginal é
\frac{d u^*}{dz}=\frac{2}{z},
e coincide com o multiplicador de Lagrange \lambda^*=\tfrac{2}{z}.

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