Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} n^{n}(x-3)^{n}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em 3
\sum_{n=1}^{\infty} n^{n}(x-3)^{n}.
Informações dadas e o que está explícito:
  • A série é uma série de potências de centro 3.
  • Os coeficientes são a_{n}=n^{n}.
  • Precisa-se encontrar o raio R e o conjunto de x onde a série converge (o “intervalo de convergência”).

Passo 2

Qual método usar e por quê? Para séries de potências a maneira padrão e eficiente é usar o teste da raiz (ou a fórmula de Cauchy–Hadamard). Vou explicar essa ferramenta com calma.
O teste da raiz para séries de potências diz que, para uma série
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-c)^{n},
o raio de convergência R pode ser obtido por
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}}.
Explicando: \sqrt[n]{|a_{n}|} é a raiz n-ésima do módulo do coeficiente; \limsup é o limite superior dos valores quando n\to\infty (usado para casos em que o limite comum pode não existir). Se \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L então R=1/L (com a convenção R=0 se L=\infty e R=\infty se L=0). Intuição curta: a raiz mede a velocidade de crescimento dos coeficientes e determina até que distância (em x em torno de c) os termos |a_n (x-c)^n| podem diminuir.
Também é útil lembrar: se R=0 a série só pode convergir no ponto x=c; se R>0 há um intervalo aberto centrado em c onde a série converge absolutamente; nos pontos de fronteira ( |x-c|=R) deve-se testar separado.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao nosso caso. Aqui c=3 e a_{n}=n^{n}. Calcular a raiz n-ésima dos coeficientes:
\sqrt[n]{|a_{n}|}=\sqrt[n]{n^{n}}=n.
Agora o \limsup quando n\to\infty é
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty} n = +\infty,
pois n cresce sem limite. Pela fórmula de Cauchy–Hadamard,
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{\infty}=0.
Portanto o raio de convergência é R=0.

Passo 4

Interpretação e verificação dos pontos possíveis de convergência.
  • No ponto central x=3: então (x-3)=0 e cada termo da série para n\ge1 é n^{n}\cdot 0^{n}=0. Assim a soma é 0 e a série converge (trivialmente).
  • Para qualquer x\neq 3: seja d=|x-3|>0. Considere o módulo dos termos
|n^{n}(x-3)^{n}|=(n d)^{n}.
Se d>0, então n d\to\infty quando n\to\infty, e portanto (n d)^{n} cresce sem limite muito rápido. Mais formalmente, pela versão do teste da raiz aplicada à série numérica (ou observando que o n-ésimo termo não tende a zero), temos
\sqrt[n]{|n^{n}(x-3)^{n}|}=n d \xrightarrow[n\to\infty]{} \infty,
o que implica que a série diverge (o teste da raiz diz que se o n-ésimo radical tende a um número maior que 1 ou a +\infty, a série diverge). Também vale a condição necessária para convergência: os termos devem tender a zero; aqui |n^{n}(x-3)^{n}| não tende a zero para d>0, logo diverge.
Conclusão: a série converge apenas quando x=3 e diverge para todo x\neq3.

Passo 5

Resumo final (já que pediram também como resolver na prova): procedimento prático em prova rápida
  1. Identificar a_n.
  2. Calcular \sqrt[n]{|a_n|}.
  3. Avaliar \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  4. Usar R=1/\limsup.
  5. Testar x com |x-c|=R (aqui R=0 e só resta checar x=c).

Resposta

R=0
Intervalo de convergência: \{3\}

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