(Pontuação: 2,0) Calcule as seguintes integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de $ x^{2} - x - 6 $ no intervalo de -2 a 3. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a antiderivada de funções polinomiais. Precisamos lembrar como integrar cada termo da expressão e depois aplicar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada (ou primitiva) da função $ x^{2} - x - 6 $. A antiderivada de uma função polinomial é encontrada integrando cada termo separadamente.
Passo 3
Vamos integrar cada termo:
- A integral de $ x^{2} $ é $ \frac{x^{3}}{3} $.
- A integral de $ -x $ é $ -\frac{x^{2}}{2} $.
- A integral de $ -6 $ é $ -6x $.
Então, a antiderivada de $ x^{2} - x - 6 $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de -2 a 3 na antiderivada encontrada. Isso significa que vamos calcular:
Isso se traduz em subtrair o valor da antiderivada em -2 do valor da antiderivada em 3.
Passo 5
Vamos calcular primeiro para $ x = 3 $:
Agora para $ x = -2 $:
Passo 6
Subtraindo o valor em -2 do valor em 3:
Convertendo para fração:
Resposta
A integral definida de $ x^{2} - x - 6 $ de -2 a 3 é $ -\frac{125}{6} $.