(Pontuação: 2,0) Calcule as seguintes integrais abaixo.
integral-2^3(x^2-x-6) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de $ x^{2} - x - 6 $ no intervalo de -2 a 3. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a antiderivada de funções polinomiais. Precisamos lembrar como integrar cada termo da expressão e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada (ou primitiva) da função $ x^{2} - x - 6 $. A antiderivada de uma função polinomial é encontrada integrando cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos integrar cada termo:
  1. A integral de $ x^{2} $ é $ \frac{x^{3}}{3} $.
  2. A integral de $ -x $ é $ -\frac{x^{2}}{2} $.
  3. A integral de $ -6 $ é $ -6x $.
Então, a antiderivada de $ x^{2} - x - 6 $ é:
x^2
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de -2 a 3 na antiderivada encontrada. Isso significa que vamos calcular:
[ x^33 - x^22 - 6x ]-2^3
Isso se traduz em subtrair o valor da antiderivada em -2 do valor da antiderivada em 3.

Passo 5

Vamos calcular primeiro para $ x = 3 $:
x = 3
Agora para $ x = -2 $:
3^33 - 3^22 - 6(3) = 273 - 92 - 18 = 9 - 4,5 - 18 = -13,5

Passo 6

Subtraindo o valor em -2 do valor em 3:
-13,5 - ( 223 ) = -13,5 - 7,3 = -20,83
Convertendo para fração:
-20,56

Resposta

A integral definida de $ x^{2} - x - 6 $ de -2 a 3 é $ -\frac{125}{6} $.

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