Questão. (
) Considere a função
dada por
(a) Obtenha os valores máximo e mínimo absolutos de
em
.
(b) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão no domínio da
.
(b) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão no domínio da
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
– (a) os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo
;
– (b) os intervalos de concavidade de em todo o seu domínio e os pontos de inflexão.
Para (a) vamos usar o fato de que extremos absolutos em intervalo cerrado ocorrem em pontos críticos (onde ) ou nas extremidades. Para (b) aplicamos
para determinar concavidade e inflexões.
– (a) os valores máximo e mínimo absolutos de
– (b) os intervalos de concavidade de
Para (a) vamos usar o fato de que extremos absolutos em intervalo cerrado ocorrem em pontos críticos (onde
Passo 2
Calculemos a derivada primeira para achar pontos críticos:
Logo os pontos críticos satisfazem
Passo 3
Em
devemos testar
,
,
(pontos críticos) e
. Calculando:
Passo 4
Comparando os valores obtidos, o maior é
e o menor é
, alcançado em
e em
. Portanto, no intervalo dado:
– mínimo absoluto vale em
e
;
– máximo absoluto vale em
.
– mínimo absoluto vale
– máximo absoluto vale
Passo 5
Para concavidade, computamos a derivada segunda:
Passo 6
Pontos de inflexão ocorrem onde
e muda o sinal de concavidade. Resolvendo
Nesses
, os valores são
Assim os pontos de inflexão são
e
.
Passo 7
Para saber os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de
:
– se (
), então
e
é côncava para cima;
– se (
), então
e
é côncava para baixo.
– se
– se
Portanto, em todo o domínio real:
– concavidade para cima em ;
– concavidade para baixo em .
– concavidade para cima em
– concavidade para baixo em
Resposta
(a) No intervalo
:
mínimo absoluto em
;
máximo absoluto em
.
mínimo absoluto
máximo absoluto
(b)
– Pontos de inflexão em e
.
– é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
– Pontos de inflexão em
–