^a Questão. ( 2 , 0 p t s ) Considere a função f dada por
f(x)=(x^2-1)^2
(a) Obtenha os valores máximo e mínimo absolutos de f em [-1, raiz32].
(b) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão no domínio da f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = l(x^2-1r)^2
e pede duas coisas:
– (a) os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo l[-1,raiz3/2r];
– (b) os intervalos de concavidade de f em todo o seu domínio e os pontos de inflexão.
Para (a) vamos usar o fato de que extremos absolutos em intervalo cerrado ocorrem em pontos críticos (onde f'(x)=0) ou nas extremidades. Para (b) aplicamos f''(x) para determinar concavidade e inflexões.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira para achar pontos críticos:
f(x) = (x^2 - 1)^2 Longrightarrow f'(x) = 2,(x^2 - 1)cdot 2x = 4x,(x^2 - 1)
Logo os pontos críticos satisfazem
4x,(x^2 - 1) = 0 Longrightarrow x = 0,;x = 1,;x = -1

Passo 3

Em l[-1,raiz3/2r] devemos testar x=-1, x=0, x=1 (pontos críticos) e x=raiz3/2. Calculando:
f(-1) = l((-1)^2-1r)^2 = 0^2 = 0,
f(0) = l(0^2-1r)^2 = (-1)^2 = 1,
f(1) = l(1^2-1r)^2 = 0^2 = 0,
fl(raiz3/2r) = l(tfrac32-1r)^2 = l(tfrac12r)^2 = tfrac14

Passo 4

Comparando os valores obtidos, o maior é f(0)=1 e o menor é 0, alcançado em x=-1 e em x=1. Portanto, no intervalo dado:
– mínimo absoluto vale 0 em x=-1 e x=1;
– máximo absoluto vale 1 em x=0.

Passo 5

Para concavidade, computamos a derivada segunda:
f'(x) = 4x(x^2 - 1) Longrightarrow f''(x) = 4l[(x^2 - 1) + xcdot 2xr] = 4l(x^2 - 1 + 2x^2r) = 4(3x^2 - 1) = 12x^2 - 4

Passo 6

Pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 e muda o sinal de concavidade. Resolvendo
12x^2 - 4 = 0 Longrightarrow x^2 = tfrac13 Longrightarrow x = pm tfrac1raiz3
Nesses x, os valores são
f!l(pmtfrac1raiz3r) = l(tfrac13-1r)^2 = l(-tfrac23r)^2 = tfrac49
Assim os pontos de inflexão são
l(-tfrac1raiz3,,tfrac49r) e l(tfrac1raiz3,,tfrac49r).

Passo 7

Para saber os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de f''(x)=12x^2 -4:
– se x^2>1/3 ( |x|>1/raiz3), então f''(x)>0 e f é côncava para cima;
– se x^2<1/3 ( |x|<1/raiz3), então f''(x)<0 e f é côncava para baixo.
Portanto, em todo o domínio real:
– concavidade para cima em l(-infty,-tfrac1raiz3r)cupl(tfrac1raiz3,inftyr);
– concavidade para baixo em l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r).

Resposta

(a) No intervalo l[-1,raiz3/2r]:
mínimo absoluto fmin=0 em x=-1,1;
máximo absoluto fmax=1 em x=0.
(b)
– Pontos de inflexão em l(-tfrac1raiz3,tfrac49r) e l(tfrac1raiz3,tfrac49r).
f é côncava para cima em l(-infty,-tfrac1raiz3r)cupl(tfrac1raiz3,inftyr) e côncava para baixo em l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r).

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