População de aves. Uma população estável de 35000 aves está distribuída em 3 ilhas. A cada ano, 10 % da população da ilha A migra à ilha B, 20 % da população em B migra à ilha C , e 5 % da população em C migra à A. Encontre a quantidad de aves em cada ilha se a população total não muda com o tempo.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma população total de 35000 aves distribuídas em três ilhas A, B e C, e que a cada ano:
  • 10% de A migra para B.
  • 20% de B migra para C.
  • 5% de C migra para A.
Queremos a distribuição (x,y,z) em que x aves em A, y em B e z em C permanece constante (estado estacionário), sabendo que x+y+z=35000. Para resolver, vamos usar sistema linear de equilíbrio de fluxos (cadeia de Markov em regime estacionário).

Passo 2

Definimos x,y,z como as populações em A,B,C no equilíbrio. A cada ano:
  • Em A ficam 90% de x mais 5% de z.
  • Em B ficam 80% de y mais 10% de x.
  • Em C ficam 95% de z mais 20% de y.
Como o estado estacionário implica que a população de cada ilha não muda, escrevemos:
x = 0.90,x + 0.05,z,
y = 0.80,y + 0.10,x,
z = 0.95,z + 0.20,y,
além de
x + y + z = 35000

Passo 3

Reescrevendo cada equação de equilíbrio:
x - 0.90,x - 0.05,z = 0 Longrightarrow 0.10,x = 0.05,z Longrightarrow x = 0.5,z
y - 0.80,y - 0.10,x = 0 Longrightarrow 0.20,y = 0.10,x Longrightarrow y = 0.5,x
z - 0.95,z - 0.20,y = 0 Longrightarrow 0.05,z = 0.20,y Longrightarrow z = 4,y

Passo 4

Substituindo iterativamente em função de z:
x = 0.5,z, y = 0.5,x = 0.5,(0.5,z)=0.25,z, z = z
Somando x+y+z=35000
0.5,z + 0.25,z + 1,z = 1.75,z = 35000 Longrightarrow z = 350001.75=20000
Logo
x = 0.5 times 20000 = 10000, y = 0.25 times 20000 = 5000

Resposta

x=10000 aves em A, y=5000 aves em B e z=20000 aves em C.

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