Obtenha a série de Taylor da função f(x)=sen(x) e utilize-a para calcular com precisão de pelo menos três casa decimais a integral integral0^1 sen(x^3) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Taylor da função f(x) = sin(x) e, com base nela, calcular a integral integral0^1 sin(x^3) , dx com pelo menos três casas decimais de precisão. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e como utilizá-las para aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função é uma representação dessa função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico (neste caso, em x = 0 , que é a série de Maclaurin).
Para sin(x) , a série de Taylor é:
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Isso significa que podemos escrever sin(x) como:
sin(x) = x - x^33! + x^55! - x^77! + cdots

Passo 3

Agora, queremos a série de Taylor para sin(x^3) . Para isso, basta substituir x por x^3 na série que encontramos:
sin(x^3) = x^3 - (x^3)^33! + (x^3)^55! - (x^3)^77! + cdots
Simplificando os expoentes:
sin(x^3) = x^3 - x^93! + x^155! - x^217! + cdots

Passo 4

Agora que temos a série de sin(x^3) , vamos integrar termo a termo de 0 a 1:
integral0^1 sin(x^3) , dx = integral0^1 ( x^3 - x^93! + x^155! - x^217! + cdots ) dx
Integrando cada termo individualmente:
integral0^1 sin(x^3) , dx = [ x^44 - x^1010 cdot 3! + x^1616 cdot 5! - x^2222 cdot 7! + cdots ]0^1
Como todos os termos em x^k para k > 0 avaliados em 0 são zero, a integral fica:
integral0^1 sin(x^3) , dx = 14 - 110 cdot 6 + 116 cdot 120 - 122 cdot 5040 + cdots

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
14 = 0.25
110 cdot 6 = 160 approx 0.0166667
116 cdot 120 = 11920 approx 0.000520833
122 cdot 5040 = 1110880 approx 0.00000902
Então, somando os primeiros quatro termos:
0.25 - 0.0166667 + 0.000520833 - 0.00000902 approx 0.233854
Vamos verificar se precisamos de mais termos para garantir três casas decimais de precisão. O próximo termo seria 128 cdot 362880 , que é extremamente pequeno (cerca de 0.000000076 ), então podemos parar aqui.

Resposta

A integral integral0^1 sin(x^3) , dx é aproximadamente 0,234.

Exercícios relacionados