Obtenha a série de Taylor da função
e utilize-a para calcular com precisão de pelo menos três casa decimais a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Taylor da função
e, com base nela, calcular a integral
com pelo menos três casas decimais de precisão. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e como utilizá-las para aproximar integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função é uma representação dessa função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico (neste caso, em
, que é a série de Maclaurin).
Para
, a série de Taylor é:
Isso significa que podemos escrever
como:
Passo 3
Agora, queremos a série de Taylor para
. Para isso, basta substituir
por
na série que encontramos:
Simplificando os expoentes:
Passo 4
Agora que temos a série de
, vamos integrar termo a termo de 0 a 1:
Integrando cada termo individualmente:
Como todos os termos em
para
avaliados em 0 são zero, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
Então, somando os primeiros quatro termos:
Vamos verificar se precisamos de mais termos para garantir três casas decimais de precisão. O próximo termo seria
, que é extremamente pequeno (cerca de
), então podemos parar aqui.
Resposta
A integral
é aproximadamente 0,234.