Uma população de bactérias é de 4000 no tempo t=0 e sua taxa de crescimento é de 1000.2^t^t bactérias por hora depois de t horas. Qual é a população depois de uma hora?

Passo 1

O enunciado diz que a população de bactérias P(t) satisfaz a equação diferencial
P'(t) = 1000 cdot 2^t^t,
com condição inicial P(0)=4000.
O conteúdo envolvido é integração de uma taxa de variação para obter a função P(t).

Passo 2

Para encontrar P(t), basta integrar a taxa desde 0 até t:
P(t)=P(0)+integral0^tP'(s),ds =4000+integral0^t1000cdot2^s^sds

Passo 3

Em particular, para t=1 temos
P(1)=4000+1000integral0^12^s^sds

Passo 4

Agora calculamos numericamente
I=integral0^12^s^sds
Usando a regra de Simpson com quatro subintervalos ( h=0,25), obtemos aproximadamente
Iapprox1,73

Passo 5

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P(1)approx 4000 + 1000times1,73 = 4000 + 1730 = 5730

Resposta

A população depois de uma hora é aproximadamente 5730 bactérias.

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