Resolva as equações diferenciais: OBS: C e A são constantes arbitrárias.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que a gente tem é:
Aqui, C e A são constantes que aparecerão na solução. Para resolver essa equação, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Precisamos entender como reorganizar a equação e aplicar o fator integrante para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação diferencial na forma padrão. Vamos isolar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para obter:
Passo 3
Vamos reescrever a equação para ficar mais claro:
Essa é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Onde aqui,
e
.
Passo 4
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Primeiro, calculamos a integral de
:
Fazendo a substituição
, então
. Assim, a integral fica:
Então, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral da derivada é simplesmente
, então:
Onde C é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: