Resolva as equações diferenciais: OBS: C e A são constantes arbitrárias.
2 x(y+3)+(x^2-4) d yd x=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que a gente tem é:
2x(y + 3) + (x^2 - 4) dydx = 0
Aqui, C e A são constantes que aparecerão na solução. Para resolver essa equação, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Precisamos entender como reorganizar a equação e aplicar o fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação diferencial na forma padrão. Vamos isolar dydx:
2x(y + 3) + (x^2 - 4) dydx = 0
Subtraindo 2x(y + 3) de ambos os lados:
(x^2 - 4) dydx = -2x(y + 3)
Agora, dividimos ambos os lados por (x^2 - 4) para obter:
dydx = -2x(y + 3)x^2 - 4

Passo 3

Vamos reescrever a equação para ficar mais claro:
dydx + 2xx^2 - 4 y = -6xx^2 - 4
Essa é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
dydx + P(x) y = Q(x)
Onde aqui, P(x) = 2xx^2 - 4 e Q(x) = -6xx^2 - 4.

Passo 4

Para resolver, vamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Primeiro, calculamos a integral de P(x):
integral 2xx^2 - 4 dx
Fazendo a substituição u = x^2 - 4, então du = 2x dx. Assim, a integral fica:
integral 1u du = ln|u| + C = ln|x^2 - 4| + C
Então, o fator integrante é:
mu(x) = e^ln|x^2 - 4| = x^2 - 4

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
(x^2 - 4) dydx + 2xx^2 - 4 (x^2 - 4) y = -6xx^2 - 4 (x^2 - 4)
Simplificando:
(x^2 - 4) dydx + 2x y = -6x
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x) y:
ddx[(x^2 - 4) y] = -6x

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx[(x^2 - 4) y] dx = integral -6x dx
A integral da derivada é simplesmente (x^2 - 4) y, então:
(x^2 - 4) y = -3x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y para encontrar a solução geral da equação diferencial:
y = -3x^2 + Cx^2 - 4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -3x^2 + Cx^2 - 4

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