Determine o(s) ponto(s) crítico(s) e os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função
. Para isso, vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente as derivadas. As derivadas nos ajudam a entender onde a função está crescendo ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Vamos calcular
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, que sempre existe, então só precisamos resolver:
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada
.
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
Vamos escolher um número de cada intervalo e verificar o sinal da derivada:
- Intervalo 1: Escolha
- Intervalo 2: Escolha
- Intervalo 3: Escolha
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
.
A função cresce nos intervalos
e
.
A função decresce no intervalo
.