Determine o(s) ponto(s) crítico(s) e os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir.
f(x)=x^3+x^2-20 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x) = x^3 + x^2 - 20x + 1 . Para isso, vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente as derivadas. As derivadas nos ajudam a entender onde a função está crescendo ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Vamos calcular f'(x) :
f(x) = x^3 + x^2 - 20x + 1
f'(x) = 3x^2 + 2x - 20

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, que sempre existe, então só precisamos resolver:
3x^2 + 2x - 20 = 0
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Aqui, a = 3 , b = 2 , e c = -20 . Substituindo:
x = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 3 cdot (-20) 2 cdot 3
x = -2 pm raiz4 + 240 6
x = -2 pm raiz244 6
x = -2 pm 2raiz61 6
x = -1 pm raiz61 3
Então, os pontos críticos são:
x = -1 + raiz61 3 e x = -1 - raiz61 3

Passo 4

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada f'(x) .
  1. Intervalo 1: x < -1 - raiz61 3
  2. Intervalo 2: -1 - raiz61 3 < x < -1 + raiz61 3
  3. Intervalo 3: x > -1 + raiz61 3
Vamos escolher um número de cada intervalo e verificar o sinal da derivada:
  • Intervalo 1: Escolha x = -5
f'(-5) = 3(-5)^2 + 2(-5) - 20 = 75 - 10 - 20 = 45 > 0 (Crescendo)
  • Intervalo 2: Escolha x = 0
f'(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 20 = -20 < 0 (Decrescendo)
  • Intervalo 3: Escolha x = 5
f'(5) = 3(5)^2 + 2(5) - 20 = 75 + 10 - 20 = 65 > 0 (Crescendo)

Resposta

Os pontos críticos da função são x = -1 + raiz61 3 e x = -1 - raiz61 3 .
A função cresce nos intervalos x < -1 - raiz61 3 e x > -1 + raiz61 3 .
A função decresce no intervalo -1 - raiz61 3 < x < -1 + raiz61 3 .

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