Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função n(t) = 100.2^(t/3). Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de quantas horas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma população de bactérias que começa com 100 e dobra a cada três horas. A função que descreve isso é $ n(t) = 100 \times 2^{\frac{t}{3}} $. A gente precisa descobrir depois de quantas horas a população vai chegar a 51.200 bactérias. Vamos usar conceitos de crescimento exponencial e resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função ao valor que queremos encontrar. Queremos saber para qual valor de $ t $:
t
Isso significa que estamos procurando o tempo $ t $ quando a população atinge 51.200.

Passo 3

Agora, vamos isolar a parte exponencial para facilitar a resolução. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 100:
2^t3 = 51,200100 = 512
Então, temos que $ 2^{\frac{t}{3}} = 512 $.

Passo 4

Sabemos que 512 é uma potência de 2. De fato:
2^9 = 512
Portanto, podemos escrever:
2^t3 = 2^9
Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais.

Passo 5

Igualando os expoentes:
t3 = 9
Agora, basta resolver para $ t $:
t

Resposta

Depois de 27 horas, a população de bactérias será de 51.200.

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