Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função n(t) = 100.2^(t/3). Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de quantas horas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma população de bactérias que começa com 100 e dobra a cada três horas. A função que descreve isso é $ n(t) = 100 \times 2^{\frac{t}{3}} $. A gente precisa descobrir depois de quantas horas a população vai chegar a 51.200 bactérias. Vamos usar conceitos de crescimento exponencial e resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função ao valor que queremos encontrar. Queremos saber para qual valor de $ t $:
Isso significa que estamos procurando o tempo $ t $ quando a população atinge 51.200.
Passo 3
Agora, vamos isolar a parte exponencial para facilitar a resolução. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 100:
Então, temos que $ 2^{\frac{t}{3}} = 512 $.
Passo 4
Sabemos que 512 é uma potência de 2. De fato:
Portanto, podemos escrever:
Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais.
Passo 5
Igualando os expoentes:
Agora, basta resolver para $ t $:
Resposta
Depois de 27 horas, a população de bactérias será de 51.200.