Para que valores reais de m a função f(x) = (m – 1)x² - 4x – 1 não admite zeros reais?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir para quais valores reais de $ m $ a função $ f(x) = (m – 1)x² - 4x – 1 $ não tem zeros reais. Isso envolve entender funções quadráticas e o que determina se elas cruzam o eixo $ x $ ou não. Para resolver, vamos usar o discriminante da equação quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral $ f(x) = ax² + bx + c $. No nosso caso, temos:
- $ a = m – 1 $
- $ b = -4 $
- $ c = -1 $
Passo 3
Para saber se a função tem zeros reais, usamos o discriminante $ \Delta $, que é calculado por:
Se $ \Delta > 0 $, a função tem dois zeros reais distintos. Se $ \Delta = 0 $, tem um zero real. E se $ \Delta < 0 $, não tem zeros reais.
Passo 4
Vamos calcular o discriminante para a nossa função:
Passo 5
Queremos que a função não tenha zeros reais. Isso significa que o discriminante deve ser menor que zero:
Passo 6
Agora, resolvemos a inequação:
Subtraindo 12 dos dois lados:
Dividindo por 4:
Resposta
Para todos os valores reais de $ m $ menores que
, a função $ f(x) = (m – 1)x² - 4x – 1 $ não admite zeros reais.