Para que valores reais de m a função f(x) = (m – 1)x² - 4x – 1 não admite zeros reais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir para quais valores reais de $ m $ a função $ f(x) = (m – 1)x² - 4x – 1 $ não tem zeros reais. Isso envolve entender funções quadráticas e o que determina se elas cruzam o eixo $ x $ ou não. Para resolver, vamos usar o discriminante da equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral $ f(x) = ax² + bx + c $. No nosso caso, temos:
  • $ a = m – 1 $
  • $ b = -4 $
  • $ c = -1 $

Passo 3

Para saber se a função tem zeros reais, usamos o discriminante $ \Delta $, que é calculado por:
De²
Se $ \Delta > 0 $, a função tem dois zeros reais distintos. Se $ \Delta = 0 $, tem um zero real. E se $ \Delta < 0 $, não tem zeros reais.

Passo 4

Vamos calcular o discriminante para a nossa função:
De²
De
De
De
De

Passo 5

Queremos que a função não tenha zeros reais. Isso significa que o discriminante deve ser menor que zero:
4m + 12 < 0

Passo 6

Agora, resolvemos a inequação:
4m + 12 < 0
Subtraindo 12 dos dois lados:
4m < -12
Dividindo por 4:
m < -3

Resposta

Para todos os valores reais de $ m $ menores que m , a função $ f(x) = (m – 1)x² - 4x – 1 $ não admite zeros reais.

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