Sejam e .
a) Mostre que e são linearmente dependentes no intervalo .
b) Mostre que e são linearmente independentes em .
c) Mostre que é identicamente nulo.
d) Mostre que e não podem nunca ser solução de no intervalo se ambas as funções e forem contínuas neste intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções: $ y_{1}(t) = t^{2} $ e $ y_{2}(t) = t|t| $. A gente vai analisar se essas funções são linearmente dependentes ou independentes em certos intervalos, calcular o Wronskiano delas e ver se elas podem ser soluções de uma equação diferencial específica.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos:
Dependência Linear: Duas funções são linearmente dependentes se uma pode ser escrita como múltiplo da outra.
Wronskiano: Uma ferramenta que nos ajuda a verificar a independência linear de soluções de equações diferenciais.
Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem: Uma equação que envolve derivadas de segunda ordem de uma função.
Vamos passo a passo resolver cada parte do exercício!
Passo 2
a) Mostrar que $ y_{1} $ e $ y_{2} $ são linearmente dependentes no intervalo .
O que é Dependência Linear?
Duas funções são linearmente dependentes em um intervalo se existir constantes $ c_{1} $ e $ c_{2} $, não ambas zero, tais que:
para todo $ t $ no intervalo.
Resolução:
Vamos ver se conseguimos escrever $ y_{2}(t) $ como múltiplo de $ y_{1}(t) $ no intervalo .
No intervalo , $ t $ é não negativo, então:
Então, temos:
Ou seja:
Isso mostra que $ y_{2} $ é igual a $ y_{1} $ multiplicado por 1, o que significa que elas são linearmente dependentes no intervalo .
Passo 3
b) Mostrar que $ y_{1} $ e $ y_{2} $ são linearmente independentes em .
O que é Independência Linear?
Duas funções são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta em zero é quando todas as constantes são zero.
Resolução:
Precisamos verificar se existe alguma constante $ c_{1} $ e $ c_{2} $ (não ambas zero) tal que:
para todo $ t $ em .
Vamos assumir que:
Para $ t \in [-1,1] $.
Consideramos dois casos:
Para $ t > 0 $:
Como $ t^{2} \neq 0 $ para $ t \neq 0 $, temos:
Para $ t < 0 $:
Novamente, $ t^{2} \neq 0 $, então:
Agora temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em $ c_{1} + c_{2} = 0 $:
Como a única solução é $ c_{1} = c_{2} = 0 $, as funções são linearmente independentes no intervalo .
Passo 4
c) Mostrar que $ W\left[y_{1}, y_{2}\right] $ é identicamente nulo.
O que é o Wronskiano?
O Wronskiano é uma matriz que nos ajuda a verificar a independência linear de duas funções. Para duas funções $ y_{1} $ e $ y_{2} $, o Wronskiano é dado por:
Resolução:
Vamos calcular o Wronskiano para $ y_{1}(t) = t^{2} $ e $ y_{2}(t) = t|t| $.
Primeiro, encontramos as derivadas:
y1
Para $ y_{2}(t) = t|t| $, vamos derivar considerando os casos $ t > 0 $ e $ t < 0 $:
Então, em todos os casos, o Wronskiano é zero. Portanto, $ W[y_{1}, y_{2}] $ é identicamente nulo.
Passo 5
d) Mostrar que $ y_{1} $ e $ y_{2} $ não podem nunca ser solução de $ \ddot{y} + a(t)\dot{y} + b(t)y = 0 $ no intervalo y1 se ambas as funções $ a(t) $ e $ b(t) $ forem contínuas neste intervalo.
O que significa ser solução da EDO?
Para uma função ser solução da equação diferencial $ \ddot{y} + a(t)\dot{y} + b(t)y = 0 $, ela precisa satisfazer essa equação para todo $ t $ no intervalo dado.
Resolução:
Sabemos que se duas soluções de uma EDO linear de segunda ordem forem linearmente dependentes, o Wronskiano delas deve não ser zero. Porém, no passo anterior, vimos que o Wronskiano é sempre zero, o que indica que as funções não são linearmente independentes em todo o intervalo y2 .
Além disso, de acordo com o Teorema de Abel, para uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes contínuos, se o Wronskiano de duas soluções é zero em algum ponto do intervalo, então ele é zero em todo o intervalo, o que implica que as soluções são linearmente dependentes.
Como já demonstramos que $ W[y_{1}, y_{2}] = 0 $ em todo o intervalo, isso contradiz a condição necessária de que soluções de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes contínuos devem ter Wronskiano diferente de zero se forem linearmente independentes.
Portanto, $ y_{1} $ e $ y_{2} $ não podem ser soluções dessa equação diferencial no intervalo ddoty + a(t)doty + b(t)y = 0 se $ a(t) $ e $ b(t) $ forem contínuas.
Resposta
Através da análise dos conceitos de dependência linear, cálculo do Wronskiano e aplicação do Teorema de Abel, mostramos que:
a) $ y_{1} $ e $ y_{2} $ são linearmente dependentes no intervalo y1 .
b) $ y_{1} $ e $ y_{2} $ são linearmente independentes no intervalo y2 .
c) O Wronskiano $ W[y_{1}, y_{2}] $ é identicamente nulo em todo o intervalo considerado.
d) As funções $ y_{1} $ e $ y_{2} $ não podem ser soluções da equação diferencial $ \ddot{y} + a(t)\dot{y} + b(t)y = 0 $ no intervalo [0,1] se $ a(t) $ e $ b(t) $ forem contínuas.