Resolva cada equação em
.
Passo 1
O enunciado pede: resolver em
a equação
Informações dadas: o lado esquerdo é a função exponencial com base
(onde
é a constante aproximada
) e o lado direito é o número
. A incógnita é
. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Verificação rápida de existência e unicidade da solução. A função
está definida para todo
e seus valores são sempre positivos (ou seja, o conjunto imagem é
). Como
, existe pelo menos uma solução real. Além disso,
é estritamente crescente (a sua derivada é
), então a solução é única. Portanto procuramos um único
tal que
.
Passo 3
Apresentando o logaritmo natural. O logaritmo natural, denotado por
, é a função inversa de
. Isso significa que, para qualquer
,
e
para todo
. Outra propriedade útil é a regra da potência para logaritmos:
válida para
e qualquer real
. Essas duas ideias (inversão exponencial/log e a propriedade de potência) são as ferramentas que vamos usar.
Passo 4
Aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Como
, podemos aplicar
sem problemas:
Pela propriedade de inversão da exponencial e do logaritmo temos
. Assim obtemos diretamente
Passo 5
Interpretação da solução e alternativa de cálculo numérico. A solução exata é
. Se você precisar de um valor numérico para usar na prova (ou conferir), podemos calcular
. Uma forma prática é usar a identidade
, então
Usando valores conhecidos (ou uma calculadora)
e
, portanto
Se você só precisar de poucas casas, pode arredondar para
.
Passo 6
Resumo final: existe exatamente uma solução real, obtida aplicando o logaritmo natural, e ela é a solução exata
. A aproximação decimal fica
.