Resolva cada equação em x.
e^{x}=5

Passo 1

O enunciado pede: resolver em x a equação
e^{x}=5.
Informações dadas: o lado esquerdo é a função exponencial com base e (onde e é a constante aproximada e\approx2,718281828\ldots) e o lado direito é o número 5. A incógnita é x. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Verificação rápida de existência e unicidade da solução. A função x\mapsto e^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R} e seus valores são sempre positivos (ou seja, o conjunto imagem é (0,\infty)). Como 5>0, existe pelo menos uma solução real. Além disso, e^{x} é estritamente crescente (a sua derivada é e^{x}>0), então a solução é única. Portanto procuramos um único x\in\mathbb{R} tal que e^{x}=5.

Passo 3

Apresentando o logaritmo natural. O logaritmo natural, denotado por \ln, é a função inversa de e^{x}. Isso significa que, para qualquer y>0,
e^{\ln y}=y
e
\ln\big(e^{t}\big)=t
para todo t\in\mathbb{R}. Outra propriedade útil é a regra da potência para logaritmos:
\ln\big(a^{b}\big)=b\ln a,
válida para a>0 e qualquer real b. Essas duas ideias (inversão exponencial/log e a propriedade de potência) são as ferramentas que vamos usar.

Passo 4

Aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Como 5>0, podemos aplicar \ln sem problemas:
\ln\big(e^{x}\big)=\ln(5).
Pela propriedade de inversão da exponencial e do logaritmo temos \ln\big(e^{x}\big)=x. Assim obtemos diretamente
x=\ln(5).

Passo 5

Interpretação da solução e alternativa de cálculo numérico. A solução exata é x=\ln(5). Se você precisar de um valor numérico para usar na prova (ou conferir), podemos calcular \ln(5). Uma forma prática é usar a identidade 5=\dfrac{10}{2}, então
\ln(5)=\ln(10)-\ln(2).
Usando valores conhecidos (ou uma calculadora) \ln(10)\approx2,302585093 e \ln(2)\approx0,693147181, portanto
\ln(5)\approx2,302585093-0,693147181=1,609437912.
Se você só precisar de poucas casas, pode arredondar para \ln(5)\approx1,609.

Passo 6

Resumo final: existe exatamente uma solução real, obtida aplicando o logaritmo natural, e ela é a solução exata x=\ln(5). A aproximação decimal fica x\approx1,609437912.

Resposta

x=\ln(5) \
x\approx1,609437912

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