Resolva cada equação em x.
\operatorname{tg}^{-1} x=1

Passo 1

O enunciado dá a equação \operatorname{tg}^{-1} x = 1 e pede para resolver em x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função \operatorname{tg}^{-1} x é a função arco-tangente (também escrita \arctan x).
  • O número do lado direito é 1 (número sem unidade — em trigonometria, interpretamos isso como 1 radiano).
    A partir daqui vamos achar todos os x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Recordando a definição da arco-tangente: se \displaystyle y=\arctan x, então \displaystyle \tan y = x e o valor de y pertence ao intervalo principal
\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
Isso significa que \arctan é a inversa da função \tan quando restringimos \tan ao domínio \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Aqui estou usando a propriedade inversa padrão: aplicar \tan em \arctan x recupera x.

Passo 3

Aplicando a propriedade inversa à equação \operatorname{tg}^{-1} x = 1: seja y=1. Então, pela definição,
x=\tan y=\tan(1).
Portanto a solução formal é x=\tan(1).

Passo 4

Verificação do intervalo principal: precisamos garantir que y=1 esteja no intervalo \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Sabemos que
\frac{\pi}{2}\approx 1,5708,
logo 1 (que é aproximadamente 1,0000) satisfaz
-\,\frac{\pi}{2}<1<\frac{\pi}{2},
então 1 está no intervalo principal e a operação inversa é válida. Não há múltiplas soluções adicionais porque \arctan retorna um único valor no intervalo principal.

Passo 5

Portanto a solução exata é
x=\tan(1).
Se quiser uma aproximação numérica (útil em prova prática com calculadora), podemos avaliar \tan(1). Aproximando,
\tan(1)\approx 1,5574.
(Arredondei para quatro casas decimais; em cálculo manual sem calculadora a forma exata \tan(1) geralmente é aceita.)

Resposta

x=\tan(1) \approx 1,5574

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