Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:
marca A B C A e B B e C C e A \mathrm{A}, \mathrm{B} e C nenhuma
número de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 11
Pede-se:
(d) número de pessoas que consomem ao menos duas marcas

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas (ou seja, que consomem duas ou três marcas).
Dados extraídos da tabela (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • |A| = 109
  • |B| = 203
  • |C| = 162
  • |A\cap B| = 25
  • |B\cap C| = 41
  • |C\cap A| = 28
  • |A\cap B\cap C| = 5
  • número que não consome nenhuma = 11

Passo 2

Definições e notação — para ficarmos combinados:
  • |A| é o número de pessoas que consomem a marca A, e analogamente para |B|, |C|.
  • |A\cap B| é o número de pessoas que consomem simultaneamente A e B (esse número inclui quem consome também C, se houver).
  • Queremos o número de pessoas que consomem “ao menos duas marcas”, isto é o número de elementos de
(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(C\cap A).
Vou chamar esse conjunto de S. Nosso objetivo é calcular |S|.

Passo 3

Estratégia matemática (princípio da inclusão-exclusão aplicada às interseções):
  • Podemos calcular |S|=\big|(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(C\cap A)\big| usando a fórmula da união de três conjuntos:
|X\cup Y\cup Z|=|X|+|Y|+|Z|-|X\cap Y|-|X\cap Z|-|Y\cap Z|+|X\cap Y\cap Z|.
  • Aqui tomamos X=A\cap B, Y=B\cap C, Z=C\cap A. Note que as interseções desses pares reduzem todas à interseção tripla A\cap B\cap C. Mais explicitamente:
    • X\cap Y=(A\cap B)\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C.
    • O mesmo vale para os outros pares.
  • Substituindo esses fatos na fórmula obtemos (fazendo as contas simbólicas):
\begin{aligned} |S| &= |A\cap B|+|B\cap C|+|C\cap A| \\\ &\quad -\big(|A\cap B\cap C|+|A\cap B\cap C|+|A\cap B\cap C|\big) \\\ &\quad +|A\cap B\cap C|. \end{aligned}
  • Agrupando os termos com |A\cap B\cap C| ( 3 negativos e 1 positivo) obtemos a forma simplificada:
|S| = |A\cap B|+|B\cap C|+|C\cap A| - 2\,|A\cap B\cap C|.
  • Interpretação em palavras (útil na prova): a soma |A\cap B|+|B\cap C|+|C\cap A| conta as pessoas que consomem duas marcas, mas quem consome as três foi contado três vezes; devemos ajustar para que cada pessoa que consome as três seja contada apenas uma vez no total final. O ajuste dá exatamente a subtração de 2 vezes |A\cap B\cap C|, resultando em cada triplo contado uma única vez.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números dados:
|S| = |A\cap B|+|B\cap C|+|C\cap A| - 2\,|A\cap B\cap C|.
Substituindo:
|S| = 25 + 41 + 28 - 2\cdot 5.
Calcular passo a passo:
25 + 41 = 66,
66 + 28 = 94,
2\cdot 5 = 10,
94 - 10 = 84.
Portanto, o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é 84.

Passo 5

Cheque rápido de consistência (opcional, só para ficar tranquilo):
  • Calculando quantas pessoas consomem pelo menos uma marca:
|A\cup B\cup C| = |A|+|B|+|C| - |A\cap B| - |B\cap C| - |C\cap A| + |A\cap B\cap C|.
Substituindo os valores:
|A\cup B\cup C| = 109+203+162 -25-41-28 +5 = 385.
Somando quem não consome nenhuma ( 11) obtém-se 385+11=396 pessoas totais pesquisadas — é um número inteiro e maior que 84, então a resposta faz sentido em termos de consistência.

Resposta

84

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