Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:
marca A B C A e B B e C C e A \mathrm{A}, \mathrm{B} e C nenhuma
número de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 11
Pede-se:
(b) número de pessoas que só consomem a marca A

Passo 1

O enunciado pergunta, especificamente: calcular o número de pessoas que só consomem a marca A (item (b)).
Da tabela fornecida peguei os seguintes números (todos extraídos da tabela do enunciado):
  • número total de consumidores da marca A: |A| = 109;
  • número total de consumidores da marca B: |B| = 203;
  • número total de consumidores da marca C: |C| = 162;
  • número de consumidores de A e B (pelo menos A e B): |A \cap B| = 25;
  • número de consumidores de B e C: |B \cap C| = 41;
  • número de consumidores de C e A: |C \cap A| = 28;
  • número de consumidores das três marcas A, B e C: |A \cap B \cap C| = 5;
  • número que consome nenhuma: 11.
    O que se pede é o tamanho do conjunto “só A”, isto é |A \setminus (B \cup C)|.

Passo 2

Vou explicar a ideia com calma e de forma didática (imagine um diagrama de Venn com três círculos A, B, C).
  • |A| é a quantidade de pessoas que consomem A, independentemente de consumirem também B ou C.
  • |A \cap B| conta quem consome A e B; esse número inclui também quem consome A, B e C (a interseção tripla).
  • |A \cap B \cap C| é quem consome as três marcas ao mesmo tempo.
    Queremos contar apenas quem está no círculo A, mas fora dos círculos B e C.

Passo 3

Agora a fórmula básica (que vem da ideia do diagrama de Venn e do princípio da inclusão-exclusão). O número de pessoas que só consomem A é dado por
|A\setminus(B\cup C)| = |A| - |A\cap B| - |A\cap C| + |A\cap B\cap C|.
Explicação da fórmula, passo a passo e com intuição:
  • Começa-se com todos que consomem A: |A|.
  • Subtrai-se |A\cap B| para tirar quem consome também B.
  • Subtrai-se |A\cap C| para tirar quem consome também C.
  • Mas quem consome as três marcas |A\cap B\cap C| foi subtraído duas vezes (uma vez em |A\cap B| e outra em |A\cap C|), então é preciso somá-lo de volta uma vez para corrigir a dupla subtração. É por isso do termo final +|A\cap B\cap C|.

Passo 4

Agora substituímos os números que peguei da tabela:
|A| = 109,\qquad |A\cap B| = 25,\qquad |A\cap C| = 28,\qquad |A\cap B\cap C| = 5.
Aplicando na fórmula:
|A\setminus(B\cup C)| = 109 - 25 - 28 + 5.

Passo 5

Faço as contas passo a passo (sem pular etapas):
109 - 25 = 84,
84 - 28 = 56,
56 + 5 = 61.
Portanto o resultado é 61.

Passo 6

Cheque rápido por consistência usando outra visão (contando os “só pares” e o triplo):
  • Quem consome A e B, mas não C: |A\cap B| - |A\cap B\cap C| = 25 - 5 = 20.
  • Quem consome A e C, mas não B: |A\cap C| - |A\cap B\cap C| = 28 - 5 = 23.
    Então os que consomem A e mais alguém são 20 + 23 + 5 = 48. Subtraindo de |A|=109 109 - 48 = 61, que confirma o resultado anterior.

Passo 7

Resumo final: usando a fórmula de inclusão-exclusão e os números da tabela, concluímos que 61 pessoas só consomem a marca A. Vai dar certo na prova — lembra dessa fórmula que é muito útil quando aparecerem interseções!

Resposta

61

Exercícios relacionados