Uma população consome três marcas de sabão em pó:
e
. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:
marca
A
B
C
A e B
B e C
C e A
e C
nenhuma
número de consumidores
109
203
162
25
41
28
5
11
Pede-se:
(b) número de pessoas que só consomem a marca
| marca | A | B | C | A e B | B e C | C e A |
|
nenhuma |
| número de consumidores | 109 | 203 | 162 | 25 | 41 | 28 | 5 | 11 |
(b) número de pessoas que só consomem a marca
Passo 1
O enunciado pergunta, especificamente: calcular o número de pessoas que só consomem a marca A (item (b)).
Da tabela fornecida peguei os seguintes números (todos extraídos da tabela do enunciado):
Da tabela fornecida peguei os seguintes números (todos extraídos da tabela do enunciado):
- número total de consumidores da marca A:
; - número total de consumidores da marca B:
; - número total de consumidores da marca C:
; - número de consumidores de A e B (pelo menos A e B):
; - número de consumidores de B e C:
; - número de consumidores de C e A:
; - número de consumidores das três marcas A, B e C:
; - número que consome nenhuma:
.
O que se pede é o tamanho do conjunto “só A”, isto é.
Passo 2
Vou explicar a ideia com calma e de forma didática (imagine um diagrama de Venn com três círculos A, B, C).
-
é a quantidade de pessoas que consomem A, independentemente de consumirem também B ou C. -
conta quem consome A e B; esse número inclui também quem consome A, B e C (a interseção tripla). -
é quem consome as três marcas ao mesmo tempo.
Queremos contar apenas quem está no círculo A, mas fora dos círculos B e C.
Passo 3
Agora a fórmula básica (que vem da ideia do diagrama de Venn e do princípio da inclusão-exclusão). O número de pessoas que só consomem A é dado por
Explicação da fórmula, passo a passo e com intuição:
- Começa-se com todos que consomem A:
. - Subtrai-se
para tirar quem consome também B. - Subtrai-se
para tirar quem consome também C. - Mas quem consome as três marcas
foi subtraído duas vezes (uma vez em e outra em ), então é preciso somá-lo de volta uma vez para corrigir a dupla subtração. É por isso do termo final .
Passo 4
Agora substituímos os números que peguei da tabela:
Aplicando na fórmula:
Passo 5
Faço as contas passo a passo (sem pular etapas):
Portanto o resultado é
.
Passo 6
Cheque rápido por consistência usando outra visão (contando os “só pares” e o triplo):
- Quem consome A e B, mas não C:
. - Quem consome A e C, mas não B:
.
Então os que consomem A e mais alguém são. Subtraindo de dá , que confirma o resultado anterior.
Passo 7
Resumo final: usando a fórmula de inclusão-exclusão e os números da tabela, concluímos que
pessoas só consomem a marca A. Vai dar certo na prova — lembra dessa fórmula que é muito útil quando aparecerem interseções!