Uma população consome três marcas de sabão em pó:
e C . Uma pesquisa de mercado obteve os resultados tabelados abaixo:
Marca
A
B
C
A e B
B e C
C e A
A, B e C
Nenhuma das três
Número de
consumidores
109
203
162
25
41
28
5
115
Observação. Na tabela, o valor associado a “A e B” representa o número de consumidores que utilizam simultaneamente as marcas A e B , independentemente de consumirem ou não a marca C . Considerações análogas valem para as colunas " B e C " e " C e A ".
Sejam:
- E o conjunto de todas as pessoas consultadas na pesquisa;
-
o conjunto dos membros de
que consomem o sabão em pó de pelo menos uma das marcas
ou
;
-
o conjunto dos membros de
que não consomem sabão em pó de nenhuma das marcas
e
;
-
o conjunto dos membros de
que consomem o sabão em pó da marca
, para
.
Responda os itens abaixo:
(a) Determine a união e a interseção dos conjuntos
e
.
(b) Expresse
em termos de
e
.
(c) Determine
e
.
(d) Utilizando os resultados obtidos nos itens anteriores, determine o número de pessoas consultadas na pesquisa.
| Marca | A | B | C | A e B | B e C | C e A | A, B e C | Nenhuma das três | ||
|
109 | 203 | 162 | 25 | 41 | 28 | 5 | 115 |
(a) Determine a união e a interseção dos conjuntos
(b) Expresse
(c) Determine
(d) Utilizando os resultados obtidos nos itens anteriores, determine o número de pessoas consultadas na pesquisa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes números da tabela do enunciado) e o que é pedido.
Dados (peguei da tabela):
-
. -
. -
. -
(esse valor conta quem consome e , independentemente de consumir ). -
. -
. -
. -
(coluna “Nenhuma das três” da tabela).
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a união e a interseção dos conjuntos e
.
(b) Expressar em termos de
e
.
(c) Determinar e
.
(d) Determinar o número de pessoas consultadas (ou seja, ).
(a) Determinar a união e a interseção dos conjuntos
(b) Expressar
(c) Determinar
(d) Determinar o número de pessoas consultadas (ou seja,
Passo 2
(a) União e interseção de
e
.
Definições úteis:
é o conjunto das pessoas que consomem pelo menos uma das marcas
.
é o conjunto das pessoas que não consomem nenhuma das três marcas.
Pela definição, toda pessoa em
ou consome alguma marca (está em
) ou não consome nenhuma (está em
). Portanto:
- A união é
(todas as pessoas consultadas). - Como não existe pessoa que simultaneamente consuma ao menos uma marca e não consuma nenhuma, a interseção é vazia:
Passo 3
(b) Expressão de
em termos de
e
.
Como
e
são disjuntos (
) e sua união é
(
), os elementos de
são exatamente os elementos de
mais os de
, sem sobreposição. Logo a relação entre as cardinalidades é:
Isto é a soma das partes de uma partição.
Passo 4
(c) Determinar
e confirmar
.
Para
(união de três conjuntos) usamos o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos. A fórmula geral é:
Explicando a fórmula passo a passo:
- Somamos
: cada pessoa que consome duas marcas foi contada duas vezes e quem consome as três foi contado três vezes. - Subtraímos as interseções par a par
para eliminar a contagem dupla dos que aparecem em duas marcas. - Ao subtrair as interseções par a par, quem consome as três marcas foi removido três vezes (uma em cada termo par), mas inicialmente foi contado três vezes; portanto já sumou
. Para ajustar e contar exatamente uma vez os que consomem as três, somamos novamente .
Agora substituímos os números (peguei todos esses valores da tabela):
Primeiro somamos as cardinalidades individuais:
Primeiro somamos as cardinalidades individuais:
Somamos as interseções par a par:
Aplicando a fórmula:
Portanto
.
Para
o enunciado já nos deu o número na tabela (“Nenhuma das três”):
. (Peguei esse valor da tabela.)
Passo 5
(d) Número total de pessoas consultadas
.
Usando a relação do Passo 3:
Resposta
(a)
\quad e \quad
(b)
(c) \quad e \quad
(d)
(b)
(c)
(d)