Uma população consome três marcas de sabão em pó: \mathrm{A}, \mathrm{B} e C . Uma pesquisa de mercado obteve os resultados tabelados abaixo:
Marca A B C A e B B e C C e A A, B e C Nenhuma das três
Número de
consumidores
109 203 162 25 41 28 5 115
Observação. Na tabela, o valor associado a “A e B” representa o número de consumidores que utilizam simultaneamente as marcas A e B , independentemente de consumirem ou não a marca C . Considerações análogas valem para as colunas " B e C " e " C e A ".
Sejam:
  • E o conjunto de todas as pessoas consultadas na pesquisa;
  • S o conjunto dos membros de E que consomem o sabão em pó de pelo menos uma das marcas A, B ou C;
  • Z o conjunto dos membros de E que não consomem sabão em pó de nenhuma das marcas A, B e C;
  • S_{X} o conjunto dos membros de E que consomem o sabão em pó da marca X, para X=A, B, C.
Responda os itens abaixo:
(a) Determine a união e a interseção dos conjuntos S e Z.
(b) Expresse |E| em termos de |S| e |Z|.
(c) Determine |S| e |Z|.
(d) Utilizando os resultados obtidos nos itens anteriores, determine o número de pessoas consultadas na pesquisa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes números da tabela do enunciado) e o que é pedido.
Dados (peguei da tabela):
  • |S_A| = 109.
  • |S_B| = 203.
  • |S_C| = 162.
  • |S_A\cap S_B| = 25 (esse valor conta quem consome A e B, independentemente de consumir C).
  • |S_B\cap S_C| = 41.
  • |S_C\cap S_A| = 28.
  • |S_A\cap S_B\cap S_C| = 5.
  • |Z| = 115 (coluna “Nenhuma das três” da tabela).
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a união e a interseção dos conjuntos S e Z.
(b) Expressar |E| em termos de |S| e |Z|.
(c) Determinar |S| e |Z|.
(d) Determinar o número de pessoas consultadas (ou seja, |E|).

Passo 2

(a) União e interseção de S e Z.
Definições úteis: S é o conjunto das pessoas que consomem pelo menos uma das marcas A,B,C. Z é o conjunto das pessoas que não consomem nenhuma das três marcas.
Pela definição, toda pessoa em E ou consome alguma marca (está em S) ou não consome nenhuma (está em Z). Portanto:
  • A união é \;S\cup Z = E\; (todas as pessoas consultadas).
  • Como não existe pessoa que simultaneamente consuma ao menos uma marca e não consuma nenhuma, a interseção é vazia: \;S\cap Z = \varnothing\;.

Passo 3

(b) Expressão de |E| em termos de |S| e |Z|.
Como \;S e \;Z são disjuntos ( S\cap Z=\varnothing) e sua união é E ( S\cup Z=E), os elementos de E são exatamente os elementos de S mais os de Z, sem sobreposição. Logo a relação entre as cardinalidades é:
|E| = |S| + |Z|.
Isto é a soma das partes de uma partição.

Passo 4

(c) Determinar |S| e confirmar |Z|.
Para |S| (união de três conjuntos) usamos o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos. A fórmula geral é:
|S| = |S_A| + |S_B| + |S_C| - |S_A\cap S_B| - |S_B\cap S_C| - |S_C\cap S_A| + |S_A\cap S_B\cap S_C|.
Explicando a fórmula passo a passo:
  • Somamos |S_A|,|S_B|,|S_C|: cada pessoa que consome duas marcas foi contada duas vezes e quem consome as três foi contado três vezes.
  • Subtraímos as interseções par a par |S_A\cap S_B|,\dots para eliminar a contagem dupla dos que aparecem em duas marcas.
  • Ao subtrair as interseções par a par, quem consome as três marcas foi removido três vezes (uma em cada termo par), mas inicialmente foi contado três vezes; portanto já sumou 3 - 3 = 0. Para ajustar e contar exatamente uma vez os que consomem as três, somamos novamente |S_A\cap S_B\cap S_C|.
Agora substituímos os números (peguei todos esses valores da tabela):
Primeiro somamos as cardinalidades individuais:
|S_A| + |S_B| + |S_C| = 109 + 203 + 162 = 474.
Somamos as interseções par a par:
|S_A\cap S_B| + |S_B\cap S_C| + |S_C\cap S_A| = 25 + 41 + 28 = 94.
Aplicando a fórmula:
|S| = 474 - 94 + 5 = 380 + 5 = 385.
Portanto |S| = 385.
Para |Z| o enunciado já nos deu o número na tabela (“Nenhuma das três”): |Z| = 115. (Peguei esse valor da tabela.)

Passo 5

(d) Número total de pessoas consultadas |E|.
Usando a relação do Passo 3:
|E| = |S| + |Z| = 385 + 115 = 500.

Resposta

(a) S\cup Z = E \quad e \quad S\cap Z = \varnothing
(b) |E| = |S| + |Z|
(c) |S| = 385 \quad e \quad |Z| = 115
(d) |E| = 500

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