3- Para a população masculina de meia idade que mais tarde desenvolve a diabetes mellitus, a distribuição dos índices básicos de massa corpórea é aproximadamente normal, com média mu e desvio padrão sigma desconhecidos. Uma amostra de 58 homens selecionados desse grupo tem média barx=27 kg / m^2 e desvio padrão s=2,7 kg / m^2.
a) Teste a hipótese de que o índice médio dessa população é superior a 25 kg / m^2, índice máximo associado a pessoas saudáveis. Considere um nível de significância de 1 %;
b) Estime o índice médio de massa corpórea por meio de um intervalo com 99 % de confiança.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma população aproximadamente normal com média mu e desvio padrão sigma desconhecidos. Foi coletada uma amostra de n=58 homens com média amostral bar x = 27 kg/m^2 e desvio padrão amostral s = 2,7 kg/m^2.
Conteúdo: teste t para média e intervalo de confiança para média com variância desconhecida.

Passo 2

Vamos testar
H0:mu=25 versus H1:mu>25
ao nível de significância alpha=0,01.
O estatístico de teste é
t = bar x - 25s/raizn = 27 - 252,7/raiz58 ,
Calculando a raiz e o erro padrão:
raiz58approx7,6158 Longrightarrow sraizn =2,77,6158approx0,3547
Logo
t =20,3547approx5,64
com n-1=57 graus de liberdade.

Passo 3

O valor crítico para um teste unilateral à direita com alpha=0,01 e 57 graus de liberdade é
t0,99,,57approx2,39
Como
trm calc=5,64 > 2,39 = trm crit,
rejeitamos H0. Há evidência significativa, a 1%, de que mu>25 kg/m^2.

Passo 4

Para construir o intervalo de confiança de 99% para mu, usamos
bar x pm t1-0,012,,57,sraizn ;=; 27 pm t0,995,,57times0,3547
Na tabela, t0,995,,57approx2,663, então a margem de erro é
2,663times0,3547approx0,94
Logo o intervalo é
l[,27 - 0,94,;27 + 0,94,r] =[,26,06,;27,94,] kg/m^2

Resposta

a) Rejeita-se H0; há evidência de que o índice médio é superior a 25 kg/m^2.
b) Intervalo de confiança de 99% para mu: [26,06,;27,94] kg/m^2.

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