2 - Os dados apresentados na sequiência são tamanhos (em dias) dos ciclos menstruais em uma amostra aleatória de 15 mulheres.
26 28 29 33 29 26 30 31
28 27 29 30 32 28 29
a) Forneça uma estimativa pontual para o tamanho médio do ciclo menstrual;
b) Teste a hipótese de que o tamanho médio do ciclo menstrual é inferior a 30 dias. Avalie quais seriam as conclusões aos níveis de 10, 5 e 1% de significância.
c) Estime o tamanho médio do ciclo menstrual por meio de um intervalo com de confiança. Qual a margem de erro de sua estimativa?

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória de tamanho n=15 com os comprimentos dos ciclos menstruais (em dias) e pede:
  • (a) estimativa pontual da média mu;
  • (b) teste da hipótese de que mu<30 usando níveis de significância de 10%, 5% e 1%;
  • (c) intervalo de confiança de 95% para mu e sua margem de erro.
    Como a variância populacional é desconhecida, vamos usar a distribuição t de Student com n-1=14 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular a média amostral bar x e o desvio-padrão amostral s.
Os dados são
26,28,29,33,29,26,30,31,28,27,29,30,32,28,29
A soma total é 435, logo
bar x = 43515 = 29
O desvio-padrão amostral vem de
s = raiz1n-1sumi=1^n(xi-bar x)^2 =raiz5614=2

Passo 3

Montar o teste de hipótese unilateral à esquerda:
H0:mu=30 versus H1:mu<30
O estatístico é
t = bar x - 30s/raizn = 29 - 302/raiz15 = -12/raiz15 approx -1,9365

Passo 4

Determinar as regiões críticas para cada alpha (graus de liberdade =14):
  • alpha=0,10: t0,10;14approx -1,345.
  • alpha=0,05: t0,05;14approx -1,761.
  • alpha=0,01: t0,01;14approx -2,624.
Comparando com tapprox -1,9365:
  • Para alpha=0,10: -1,9365 < -1,345, rejeitamos H0.
  • Para alpha=0,05: -1,9365 < -1,761, rejeitamos H0.
  • Para alpha=0,01: -1,9365 > -2,624, não rejeitamos H0.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança de 95% para mu:
bar x pm t0,025;14,sraizn =29 pm 2,145cdot2raiz15 approx 29 pm 1,11
Logo o intervalo é
[27,89,;30,11]
A margem de erro é Eapprox1,11 dias.

Resposta

(a) Estimativa pontual: bar x = 29 dias.
(b) Estatística de teste tapprox -1,9365. Rejeita-se H0 a 10% e 5%, mas não a 1%.
(c) Intervalo de 95%: [27,89,;30,11] com margem de erro 1,11.

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