De uma população Normal de média 80 e desvio padrão 4, recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão 100.
(a) Qual a probabilidade da média da amostra diferir da média da população por mais de 0,5 ?
(b) Se a população não fosse Normal, qual seria essa probabilidade?
(a) Qual a probabilidade da média da amostra diferir da média da população por mais de 0,5 ?
(b) Se a população não fosse Normal, qual seria essa probabilidade?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma população que segue uma distribuição Normal com média (μ) igual a 80 e desvio padrão (σ) igual a 4. Tiramos uma amostra aleatória de tamanho 100 dessa população. Precisamos calcular:
(a) A probabilidade de que a média da amostra (X̄) difira da média da população por mais de 0,5.
(b) Se a população não fosse Normal, qual seria essa probabilidade?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente sobre a distribuição da média amostral e o Teorema Central do Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a média da amostra diferir da média da população por mais de 0,5. Isso quer dizer que queremos calcular P(|X̄ - μ| > 0,5), ou seja, a probabilidade de a média da amostra ser maior que 80,5 ou menor que 79,5.
Passo 3
Sabemos que, para uma população Normal, a média da amostra (X̄) também segue uma distribuição Normal com média μ e desvio padrão σ/√n, onde n é o tamanho da amostra. Esse desvio padrão é chamado de erro padrão da média.
Então, o erro padrão (EP) é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar P(|X̄ - 80| > 0,5). Isso é o mesmo que P(X̄ > 80,5 ou X̄ < 79,5).
Como a distribuição é simétrica, podemos calcular uma dessas probabilidades e multiplicar por 2.
Vamos calcular P(X̄ > 80,5).
Passo 5
Para encontrar essa probabilidade, vamos converter o valor para um escore z usando a fórmula:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a área sob a curva Normal padrão à direita de z = 1,25. Consultando uma tabela de valores da distribuição Normal ou usando uma calculadora, descobrimos que:
Passo 7
Como a distribuição é simétrica, a probabilidade de X̄ < 79,5 também é 0,1056. Então, a probabilidade total é:
Passo 8
Portanto, a probabilidade da média da amostra diferir da média da população por mais de 0,5 é de aproximadamente 21,12%.
Resposta
(a) A probabilidade é de aproximadamente 21,12%.
(b) Se a população não fosse Normal, com uma amostra de tamanho 100, a probabilidade também seria aproximadamente 21,12%, graças ao Teorema Central do Limite que permite usar a distribuição Normal para amostras grandes mesmo de populações não normais.