De uma população Normal de média 80 e desvio padrão 4, recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão 100.
(a) Qual a probabilidade da média da amostra diferir da média da população por mais de 0,5 ?
(b) Se a população não fosse Normal, qual seria essa probabilidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma população que segue uma distribuição Normal com média (μ) igual a 80 e desvio padrão (σ) igual a 4. Tiramos uma amostra aleatória de tamanho 100 dessa população. Precisamos calcular:
(a) A probabilidade de que a média da amostra (X̄) difira da média da população por mais de 0,5.
(b) Se a população não fosse Normal, qual seria essa probabilidade?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente sobre a distribuição da média amostral e o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a média da amostra diferir da média da população por mais de 0,5. Isso quer dizer que queremos calcular P(|X̄ - μ| > 0,5), ou seja, a probabilidade de a média da amostra ser maior que 80,5 ou menor que 79,5.

Passo 3

Sabemos que, para uma população Normal, a média da amostra (X̄) também segue uma distribuição Normal com média μ e desvio padrão σ/√n, onde n é o tamanho da amostra. Esse desvio padrão é chamado de erro padrão da média.
Então, o erro padrão (EP) é:
EP = sigmaraizn = 4raiz100 = 410 = 0,4

Passo 4

Agora, queremos encontrar P(|X̄ - 80| > 0,5). Isso é o mesmo que P(X̄ > 80,5 ou X̄ < 79,5).
Como a distribuição é simétrica, podemos calcular uma dessas probabilidades e multiplicar por 2.
Vamos calcular P(X̄ > 80,5).

Passo 5

Para encontrar essa probabilidade, vamos converter o valor para um escore z usando a fórmula:
z = X̄ - muEP = 80,5 - 800,4 = 0,50,4 = 1,25

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a área sob a curva Normal padrão à direita de z = 1,25. Consultando uma tabela de valores da distribuição Normal ou usando uma calculadora, descobrimos que:
P(Z > 1,25) approx 0,1056

Passo 7

Como a distribuição é simétrica, a probabilidade de X̄ < 79,5 também é 0,1056. Então, a probabilidade total é:
P(|X̄ - 80| > 0,5) = 2 times 0,1056 = 0,2112

Passo 8

Portanto, a probabilidade da média da amostra diferir da média da população por mais de 0,5 é de aproximadamente 21,12%.

Resposta

(a) A probabilidade é de aproximadamente 21,12%.
(b) Se a população não fosse Normal, com uma amostra de tamanho 100, a probabilidade também seria aproximadamente 21,12%, graças ao Teorema Central do Limite que permite usar a distribuição Normal para amostras grandes mesmo de populações não normais.

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