Sabe-se que a idade de determinada camada do subsolo segue uma distribuição Normal com média de 0,5 milhões de anos e um desvio padrão de 20000 anos. Selecionados ao acaso 10 amostras de subsolo, calcule a probabilidade da média amostral das suas idades ser superior a 490000 anos.

Passo 1

Vamos resolver um problema de estatística onde queremos encontrar a probabilidade de que a média de amostras de idades de subsolo seja superior a 490.000 anos. Para isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Distribuição da Média Amostral. Precisamos entender a média, o desvio padrão e o tamanho da amostra para calcular essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, identificamos os dados fornecidos:
  • Média da população ( mu): 0,5 milhões de anos, que é igual a 500.000 anos.
  • Desvio padrão da população ( sigma): 20.000 anos.
  • Tamanho da amostra ( n): 10.

Passo 3

Calculamos o desvio padrão da média amostral usando a fórmula:
sigmaX = sigmaraizn
Substituindo os valores:
sigmaX = 20000raiz10 approx 6324,56 anos

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral ( X) seja superior a 490.000 anos. Primeiro, calculamos o escore z correspondente a 490.000 anos:
z = X - musigmaX
Substituindo os valores:
z = 490000 - 5000006324,56 approx -100006324,56 approx -1,5811

Passo 5

Usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade associada a z = -1,5811. A probabilidade de z ser menor que -1,5811 é aproximadamente 0,0571.

Passo 6

Como queremos a probabilidade de z ser maior que -1,5811, subtraímos esse valor de 1:
P(X > 490000) = 1 - P(z < -1,5811) = 1 - 0,0571 = 0,9429

Resposta

A probabilidade da média amostral das idades ser superior a 490.000 anos é aproximadamente 94,29%.

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