A duração das chamadas recebidas na central telefônica de uma determinada empresa tem distribuição normal de média 17 minutos e desvio padrão 5 minutos. Determine a probabilidade de numa amostra aleatória de 100 chamadas, a duração média se situar entre os 16 minutos e os 18 minutos.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma central telefônica onde a duração das chamadas segue uma distribuição normal com média de 17 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Queremos saber qual a probabilidade de, em uma amostra aleatória de 100 chamadas, a duração média das chamadas ficar entre 16 e 18 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e distribuição amostral da média.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando temos uma amostra grande (como 100 chamadas), a distribuição das médias amostrais também será normal, com a mesma média da população, mas com um desvio padrão menor. Esse desvio padrão menor é chamado de erro padrão da média.
Passo 3
Vamos calcular o erro padrão da média usando a fórmula:
Onde:
-
minutos (desvio padrão da população) -
(tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de a média das chamadas estar entre 16 e 18 minutos. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a pontuação z, que nos diz quantos erros padrão um valor está distante da média.
A fórmula para a pontuação z é:
Onde:
-
é a média amostral -
minutos (média da população)
Passo 5
Vamos calcular o z para 16 minutos:
E para 18 minutos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de
estar entre -2 e 2 na distribuição normal padrão. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, sabemos que aproximadamente 95,45% dos valores estão dentro desse intervalo.
Resposta
A probabilidade de que a duração média das chamadas esteja entre 16 e 18 minutos é de aproximadamente 95,45%.