A duração das chamadas recebidas na central telefônica de uma determinada empresa tem distribuição normal de média 17 minutos e desvio padrão 5 minutos. Determine a probabilidade de numa amostra aleatória de 100 chamadas, a duração média se situar entre os 16 minutos e os 18 minutos.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma central telefônica onde a duração das chamadas segue uma distribuição normal com média de 17 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Queremos saber qual a probabilidade de, em uma amostra aleatória de 100 chamadas, a duração média das chamadas ficar entre 16 e 18 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e distribuição amostral da média.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando temos uma amostra grande (como 100 chamadas), a distribuição das médias amostrais também será normal, com a mesma média da população, mas com um desvio padrão menor. Esse desvio padrão menor é chamado de erro padrão da média.

Passo 3

Vamos calcular o erro padrão da média usando a fórmula:
Erro Padrão = sigmaraizn ã
Onde:
  • sigma = 5 minutos (desvio padrão da população)
  • n = 100 (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Erro Padrão = 5raiz100 = 510 = 0,5 minutos ã

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de a média das chamadas estar entre 16 e 18 minutos. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a pontuação z, que nos diz quantos erros padrão um valor está distante da média.
A fórmula para a pontuação z é:
z = barx - muErro Padrão ã
Onde:
  • barx é a média amostral
  • mu = 17 minutos (média da população)

Passo 5

Vamos calcular o z para 16 minutos:
z16 = 16 - 170,5 = -10,5 = -2
E para 18 minutos:
z18 = 18 - 170,5 = 10,5 = 2

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de z estar entre -2 e 2 na distribuição normal padrão. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, sabemos que aproximadamente 95,45% dos valores estão dentro desse intervalo.

Resposta

A probabilidade de que a duração média das chamadas esteja entre 16 e 18 minutos é de aproximadamente 95,45%.

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