Seja X: N(80,26). Dessa população retira-se uma amostra, com reposição, de n=25. Determine:
P(barx <= 82)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória que é Normal de média 80 e variância 26, ou seja . A gente retira uma amostra de tamanho com reposição e quer saber a probabilidade de a média amostral ser menor ou igual a 82.
Conteúdo: distribuição da média amostral e normalização (teorema do limite central, que aqui vale exatamente porque a população é normal).
O que vamos precisar:
  • Saber que também é normal com média e variância .
  • Calcular e usar tabela da Normal padrão.

Passo 2

Primeiro, anotamos os parâmetros de bar X sim N!l(mubar X=80,;sigma^2bar X=2625r) :
Como e , então
A gente lembra que se é normal, a média de amostras independentes é normal com média igual à média da população e variância dividida por .

Passo 3

Agora queremos
P(bar X <= 82)
Para usar a tabela da Normal padrão, a gente define
Z = bar X - 80raiz26/25
Quando Z = 82 - 80raiz26/25 = 2raiz1,04 = 21,0199 approx 1,96 ,

Passo 4

Então
P(bar X <= 82) = Pl(Z <= 1,96r)
Na tabela da Normal padrão, .

Resposta

P(bar X <= 82)approx 0,975

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