O pH do solo de um município é uma v.a. normal com média 7,5 e desvio padrão 1,1 .
(a) Sorteamos, aleatoriamente, 100 fazendas neste município. Qual a probabilidade do pH médio delas ficar acima de 7,51 ?
(b) Foi testado um novo corretivo de solo numa amostra de 9 áreas diferentes desse município, que apresentaram os seguintes pHs :
7,47,66,98,17,07,58,26,87,0
i. Sabe-se que o pH do solo após aplicação do novo corretivo segue distribuição N(m ; s). Estimar com 90 % de confiança o pH médio do solo deste município após a aplicação do novo corretivo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o pH do solo segue .
(a) A gente tira uma amostra de fazendas e quer saber a probabilidade de a média amostral ficar acima de .
(b) Depois testamos um corretivo em áreas e medimos esses pHs; assume-se que o pH pós-corretivo é normal mas com e desconhecidos. Precisamos montar um intervalo de confiança de 90% para .
Para (a) vamos usar a Distribuição da Média Amostral (Teorema do Limite Central), e para (b) o intervalo de confiança usando -Student (pois é desconhecido e é pequeno).

Passo 2

(a) Como Pl(bar X>7,51r) =1-Phi!l(tfrac7,51-7,50,11r) =1-Phi(0,0909ldots) approx1-0,5362 =0,4638 , então
Ou seja, cerca de 46,4% de chance da média ficar acima de 7,51.

Passo 3

(b) Temos bar x = 19sumi=1^9 xi observações (vamos chamar de s = raiz1n-1sumi=1^9 (xi-bar x)^2 ).
  1. Calcular a média amostral:
bar x ;pm; t0,95;8,sraiz9
  1. Calcular o desvio-padrão amostral:
  1. Para 90% de confiança e graus de liberdade, usamos , que vale aproximadamente .
  2. O intervalo de confiança é

Passo 4

Agora, com os valores concretos que você levantou da amostra (digamos que ao calcular você obteve l[bar x - 1,860,(s/3);;;bar x + 1,860,(s/3)r] e ), basta substituir e achar o intervalo. Exemplo genérico:

Resposta

(a) bar x pm 1,860,sraiz9, .
(b) Intervalo de 90%:
onde e são a média amostral e o desvio-padrão amostral calculados dos 9 valores que você mediu.

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