Resolva as equações:
2 x(y+1){2}=\left(1+x{2}\right) y^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2x(y+1)^{2} = (1+x^{2})\,y',
onde y é função de x e y'=\dfrac{dy}{dx}.
Informações dadas: a equação relaciona x, y e y'. Não há condições iniciais fornecidas, então buscamos a solução geral (com constante de integração). Notei que a equação envolve produtos de funções de x e de y, e que não há termos explícitos dependentes de y' além do lado direito.

Passo 2

Vamos rearranjar a equação para isolar os diferenciais e ver se ela é separável (ou seja, conseguir escrever algo da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx). A equação original é
2x(y+1)^{2} = (1+x^{2})\frac{dy}{dx}.
Dividindo ambos os lados por (1+x^{2}) e também por (y+1)^{2} (atenção: isso só é permitido quando y+1\neq 0; tratarei do caso y+1=0 separadamente), obtemos a forma separada
\frac{dy}{(y+1)^{2}} = \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Aqui fiz duas operações simples: 1) dividi por (1+x^{2}) que é sempre positiva e diferente de zero; 2) dividi por (y+1)^{2}, o que exige y\neq -1. A vantagem dessa forma é que o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x, permitindo integrações separadas.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Escrevemos
\int \frac{dy}{(y+1)^{2}} = \int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Vou calcular cada integral com cuidado para você poder reproduzir na prova.
  • Lado esquerdo: faça u = y+1. Então du = dy e a integral fica
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C_1 = -\frac{1}{y+1} + C_1.
Explicando: a integral de u^{n} é \dfrac{u^{n+1}}{n+1} quando n\neq -1; aqui n=-2 então obtemos \dfrac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
  • Lado direito: faça v = 1+x^{2}. Então dv = 2x\,dx e a integral fica
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{v}\,dv = \ln|v| + C_2 = \ln(1+x^{2}) + C_2,
pois 1+x^{2}>0 para todo x, podemos tirar o valor absoluto sem problema.
Assim, igualando as duas primitivas (podemos juntar as constantes) obtemos
-\frac{1}{y+1} = \ln(1+x^{2}) + C,
onde C é uma constante arbitrária (resultante de C_2-C_1).

Passo 4

Agora resolvemos a expressão anterior para y. Temos
-\frac{1}{y+1} = \ln(1+x^{2}) + C.
Multiplicando por -1,
\frac{1}{y+1} = -\ln(1+x^{2}) - C.
Chame a constante -C de C_{1} (é apenas renomear a constante de integração), obtendo
\frac{1}{y+1} = C_{1} - \ln(1+x^{2}).
Desde que o lado direito seja diferente de zero, podemos inverter ambos os lados:
y+1 = \frac{1}{C_{1} - \ln(1+x^{2})}.
Finalmente,
y(x) = \frac{1}{C_{1} - \ln(1+x^{2})} - 1,
onde C_{1} é uma constante real arbitrária. Repare que essa expressão só faz sentido quando C_{1} - \ln(1+x^{2}) \neq 0 (caso contrário teríamos divisão por zero).

Passo 5

Lembre-se do caso que excluímos ao dividir por (y+1)^{2}: se y+1=0 identicamente, ou seja y\equiv -1, então a divisão não é válida. Precisamos verificar se y\equiv -1 é solução da equação original. Substituindo y=-1 na equação original:
  • lado esquerdo: 2x(y+1)^{2} = 2x\cdot 0^{2}=0;
  • lado direito: (1+x^{2})y' = (1+x^{2})\cdot 0 = 0.
    Ambos os lados são zero para todo x, logo y\equiv -1 é de fato uma solução (solução singular que foi perdida ao dividir por (y+1)^{2}).

Passo 6

Resumo das soluções, com observações sobre domínio:
  • Solução geral (familia com constante C):
y(x) = \frac{1}{C - \ln(1+x^{2})} - 1,
válida nos intervalos onde C - \ln(1+x^{2}) \neq 0. Note que \ln(1+x^{2}) está definido para todo x, então singularidades acontecem quando 1+x^{2}=e^{C}, ou seja em pontos x=\pm\sqrt{e^{C}-1} se e^{C}>1.
  • Solução constante (singular):
y(x) \equiv -1,
que deve ser incluída porque foi excluída na separação.
Agora você tem a família de soluções e a solução singular — na prova, se surgirem condições iniciais, você determina C a partir delas e verifica se o ponto dado não cai numa singularidade.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{C-\ln(1+x^{2})}-1
y(x)\equiv -1

Exercícios relacionados