Resolva as equações:
2 x(y+1){2}=\left(1+x{2}\right) y^{\prime}
2 x(y+1){2}=\left(1+x{2}\right) y^{\prime}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
onde
é função de
e
.
Informações dadas: a equação relaciona ,
e
. Não há condições iniciais fornecidas, então buscamos a solução geral (com constante de integração). Notei que a equação envolve produtos de funções de
e de
, e que não há termos explícitos dependentes de
além do lado direito.
Informações dadas: a equação relaciona
Passo 2
Vamos rearranjar a equação para isolar os diferenciais e ver se ela é separável (ou seja, conseguir escrever algo da forma
). A equação original é
Dividindo ambos os lados por
e também por
(atenção: isso só é permitido quando
; tratarei do caso
separadamente), obtemos a forma separada
Aqui fiz duas operações simples: 1) dividi por
que é sempre positiva e diferente de zero; 2) dividi por
, o que exige
. A vantagem dessa forma é que o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, permitindo integrações separadas.
Passo 3
Agora integramos os dois lados. Escrevemos
Vou calcular cada integral com cuidado para você poder reproduzir na prova.
- Lado esquerdo: faça
. Então e a integral fica
Explicando: a integral de
é
quando
; aqui
então obtemos
.
- Lado direito: faça
. Então e a integral fica
pois
para todo
, podemos tirar o valor absoluto sem problema.
Assim, igualando as duas primitivas (podemos juntar as constantes) obtemos
onde
é uma constante arbitrária (resultante de
).
Passo 4
Agora resolvemos a expressão anterior para
. Temos
Multiplicando por
,
Chame a constante
de
(é apenas renomear a constante de integração), obtendo
Desde que o lado direito seja diferente de zero, podemos inverter ambos os lados:
Finalmente,
onde
é uma constante real arbitrária. Repare que essa expressão só faz sentido quando
(caso contrário teríamos divisão por zero).
Passo 5
Lembre-se do caso que excluímos ao dividir por
: se
identicamente, ou seja
, então a divisão não é válida. Precisamos verificar se
é solução da equação original. Substituindo
na equação original:
- lado esquerdo:
; - lado direito:
.
Ambos os lados são zero para todo, logo é de fato uma solução (solução singular que foi perdida ao dividir por ).
Passo 6
Resumo das soluções, com observações sobre domínio:
- Solução geral (familia com constante
):
válida nos intervalos onde
. Note que
está definido para todo
, então singularidades acontecem quando
, ou seja em pontos
se
.
- Solução constante (singular):
que deve ser incluída porque foi excluída na separação.
Agora você tem a família de soluções e a solução singular — na prova, se surgirem condições iniciais, você determina
a partir delas e verifica se o ponto dado não cai numa singularidade.