Numa população sabe-se que
possuem certa doença. A probabilidade de uma pessoa sabiadamente doente
apresentar resultado positivo
num teste é de
, enquanto que a de uma pessoa sabidamente não doente
apresentar um resultado negativo (
) é de
. Sabendo-se que os únicos resultados possíveis do teste são: positivo ou negativo, responda:
Qual é a probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso da população apresentar um resultado positivo no teste?
Qual é a probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso da população apresentar um resultado positivo no teste?
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é calcular a probabilidade de uma pessoa qualquer da população dar “positivo” no teste. Isso envolve conteúdo de Probabilidade Condicional e, mais especificamente, o Teorema da Probabilidade Total. O que temos:
- P(D) = 20% é a chance de a pessoa ter a doença.
- P(T|D) = 80% é a chance do teste dar positivo sabendo que a pessoa está doente.
- P(Tᶜ|Dᶜ) = 90% é a chance do teste dar negativo sabendo que a pessoa não está doente.
O que precisamos achar: P(T), a probabilidade de o teste ser positivo em uma pessoa tirada ao acaso.
Passo 2
Primeiro, monta o restante das probabilidades que faltam:
- P(Dᶜ) = 1 – P(D) = 1 – 0{,}20 = 0{,}80.
- P(T|Dᶜ) = 1 – P(Tᶜ|Dᶜ) = 1 – 0{,}90 = 0{,}10.
Isso faz sentido: se a pessoa não tem a doença, a chance do teste apontar “positivo” é de 10%.
Passo 3
Agora lembra do Teorema da Probabilidade Total: se T é o evento “teste positivo” e D é “doente”, então
Isso vem da ideia de que todo mundo ou está D ou está Dᶜ, então a chance de T aparece somando os dois caminhos (doente→positivo e não doente→positivo).
Passo 4
É só colocar os números:
Calcular:
- (0,80)·(0,20) = 0,16
- (0,10)·(0,80) = 0,08
Somando dá 0,16 + 0,08 = 0,24.
Resposta
A probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso apresentar resultado positivo no teste é de 0,24 (ou 24%).