Numa população sabe-se que 20 % possuem certa doença. A probabilidade de uma pessoa sabiadamente doente (D) apresentar resultado positivo (T) num teste é de 80 %, enquanto que a de uma pessoa sabidamente não doente (D^c) apresentar um resultado negativo ( T^c) é de 90 %. Sabendo-se que os únicos resultados possíveis do teste são: positivo ou negativo, responda:
Qual é a probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso da população apresentar um resultado positivo no teste?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular a probabilidade de uma pessoa qualquer da população dar “positivo” no teste. Isso envolve conteúdo de Probabilidade Condicional e, mais especificamente, o Teorema da Probabilidade Total. O que temos:
  • P(D) = 20% é a chance de a pessoa ter a doença.
  • P(T|D) = 80% é a chance do teste dar positivo sabendo que a pessoa está doente.
  • P(Tᶜ|Dᶜ) = 90% é a chance do teste dar negativo sabendo que a pessoa não está doente.
    O que precisamos achar: P(T), a probabilidade de o teste ser positivo em uma pessoa tirada ao acaso.

Passo 2

Primeiro, monta o restante das probabilidades que faltam:
  1. P(Dᶜ) = 1 – P(D) = 1 – 0{,}20 = 0{,}80.
  2. P(T|Dᶜ) = 1 – P(Tᶜ|Dᶜ) = 1 – 0{,}90 = 0{,}10.
    Isso faz sentido: se a pessoa não tem a doença, a chance do teste apontar “positivo” é de 10%.

Passo 3

Agora lembra do Teorema da Probabilidade Total: se T é o evento “teste positivo” e D é “doente”, então
P(T) ;=; P(Tmid D),P(D);+;P(Tmid D^c),P(D^c)
Isso vem da ideia de que todo mundo ou está D ou está Dᶜ, então a chance de T aparece somando os dois caminhos (doente→positivo e não doente→positivo).

Passo 4

É só colocar os números:
P(T) = (0,80),(0,20);+;(0,10),(0,80)
Calcular:
  • (0,80)·(0,20) = 0,16
  • (0,10)·(0,80) = 0,08
    Somando dá 0,16 + 0,08 = 0,24.

Resposta

A probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso apresentar resultado positivo no teste é de 0,24 (ou 24%).

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