Uma VAD
que associa a cada empregado das empresas de certa localidade o número de fillos do mesmo tem a seguinte distribuição de probabilidades
xi
0
1
2
3
4
5
6
0,08
0,16
0,20
0,40
0,08
0,04
0,04
a) Prove que
é uma função de probabilidade
xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
0,08 | 0,16 | 0,20 | 0,40 | 0,08 | 0,04 | 0,04 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma variável aleatória $ X $ que representa o número de filhos de empregados em certas empresas. A gente precisa provar que $ P(X = x) $ é uma função de probabilidade. Isso envolve entender o que é uma função de probabilidade e verificar se a distribuição dada cumpre essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de probabilidade. Para uma função ser uma distribuição de probabilidade válida, dois critérios devem ser atendidos:
- Cada probabilidade individual $ P(X = x_i) $ deve estar entre 0 e 1.
- A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Vamos verificar cada um desses pontos com os dados fornecidos.
Passo 3
Verificando as probabilidades individuais:
Vamos olhar para cada valor de $ x_i $ e sua probabilidade correspondente:
- $ P(X = 0) = 0,08 $
- $ P(X = 1) = 0,16 $
- $ P(X = 2) = 0,20 $
- $ P(X = 3) = 0,40 $
- $ P(X = 4) = 0,08 $
- $ P(X = 5) = 0,04 $
- $ P(X = 6) = 0,04 $
Todas essas probabilidades estão entre 0 e 1. Mandou bem nessa parte!
Passo 4
Verificando a soma das probabilidades:
Agora, vamos somar todas as probabilidades para ver se o total dá 1:
A soma dá exatamente 1, então está tudo certo aqui também.
Resposta
Como todas as probabilidades individuais estão entre 0 e 1 e a soma total é igual a 1, podemos concluir que $ P(X = x) $ é de fato uma função de probabilidade.