Uma VAD X que associa a cada empregado das empresas de certa localidade o número de fillos do mesmo tem a seguinte distribuição de probabilidades
xi 0 1 2 3 4 5 6
cccccccc xi & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 $P(xi)$ & 0,08 & 0,16 & 0,20 & 0,40 & 0,08 & 0,04 & 0,04 0,08 0,16 0,20 0,40 0,08 0,04 0,04
a) Prove que P(X=x) é uma função de probabilidade

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma variável aleatória $ X $ que representa o número de filhos de empregados em certas empresas. A gente precisa provar que $ P(X = x) $ é uma função de probabilidade. Isso envolve entender o que é uma função de probabilidade e verificar se a distribuição dada cumpre essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de probabilidade. Para uma função ser uma distribuição de probabilidade válida, dois critérios devem ser atendidos:
  1. Cada probabilidade individual $ P(X = x_i) $ deve estar entre 0 e 1.
  2. A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Vamos verificar cada um desses pontos com os dados fornecidos.

Passo 3

Verificando as probabilidades individuais:
Vamos olhar para cada valor de $ x_i $ e sua probabilidade correspondente:
  • $ P(X = 0) = 0,08 $
  • $ P(X = 1) = 0,16 $
  • $ P(X = 2) = 0,20 $
  • $ P(X = 3) = 0,40 $
  • $ P(X = 4) = 0,08 $
  • $ P(X = 5) = 0,04 $
  • $ P(X = 6) = 0,04 $
Todas essas probabilidades estão entre 0 e 1. Mandou bem nessa parte!

Passo 4

Verificando a soma das probabilidades:
Agora, vamos somar todas as probabilidades para ver se o total dá 1:
0,08 + 0,16 + 0,20 + 0,40 + 0,08 + 0,04 + 0,04 = 1,00
A soma dá exatamente 1, então está tudo certo aqui também.

Resposta

Como todas as probabilidades individuais estão entre 0 e 1 e a soma total é igual a 1, podemos concluir que $ P(X = x) $ é de fato uma função de probabilidade.

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