A revista cientifica Human Factors reportou um estudo em que se pediu a 25 pessoas, para estacionarem dois carros, de forma paralela, tendo barras de direçăo e raios de giro muito diferentes. O objetivo do estudo era comparar a facilidade de se estacionar com o automóvel A versus automóvel tipo B. O tempo, em segundos para cada pessoa foi registrado na tabela abaixo.
A
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23
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20
32
26
34
27
39
30
36
B
33
35
33
35
25
24
36
28
41
22
18
28
20
27
37
31
28
21
28
23
28
21
30
O fabricante do automóvel B afirma que, em média, leva-se mais tempo para se estacionar com o automóvel do Tipo A. Avaliem essa afirmação para um grau de confiança de
, indicando: as premissas da sua análise, as hipóteses nula e alternativa, o nivel de significancia, o valor do erro tipo I e o seu significado para a análise, o resultado do teste (rejeita ou năo Ho) e a conclusão da sua análise. Com base nos resultados, que tipo de erro você está passível de cometer (I ou II) e o que ele representa para a sua análise em questão?
:
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A | 36 | 35 | 34 | 39 | 24 | 29 | 38 | 27 | 44 | 23 | 18 | 28 | 23 | 29 | 41 | 34 | 29 | 20 | 32 | 26 | 34 | 27 |
39 | 30 | 36 | ||||||||||||||||||||
B | 33 | 35 | 33 | 35 | 25 | 24 | 36 | 28 | 41 | 22 | 18 | 28 | 20 | 27 | 37 | 31 | 28 | 21 | 28 | 23 | 28 | 21 |
O fabricante do automóvel B afirma que, em média, leva-se mais tempo para se estacionar com o automóvel do Tipo A. Avaliem essa afirmação para um grau de confiança de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um estudo onde 25 pessoas estacionaram dois carros diferentes, o A e o B, com características distintas de direção e estacionamento. O objetivo é comparar o tempo que cada pessoa levou para estacionar o carro A versus o carro B. A matéria envolvida aqui é Estatística, especificamente teste de hipóteses para comparar médias de dois grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como hipótese nula e alternativa, nível de significância, erros tipo I e II, e como realizar um teste estatístico adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
- Carro A: 25 tempos em segundos.
- Carro B: 25 tempos em segundos.
Queremos comparar as médias desses dois grupos para ver se realmente há diferença no tempo que as pessoas levam para estacionar cada carro.
Passo 3
Vamos definir as hipóteses para o nosso teste:
-
Hipótese Nula (H₀): A média do tempo para estacionar o carro A é igual à média do tempo para estacionar o carro B.
-
Hipótese Alternativa (Hₐ): A média do tempo para estacionar o carro A é maior que a média do tempo para estacionar o carro B.
Isso porque o fabricante do carro B afirma que leva mais tempo para estacionar o carro A.
Passo 4
Vamos determinar o nível de significância. O problema pede para usar um grau de confiança de 95%, então:
- Nível de significância (α): 5% ou 0,05
Esse valor representa a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira (Erro Tipo I).
Passo 5
Agora vamos calcular as médias e os desvios padrão dos tempos para ambos os carros.
Calculando a média para o Carro A:
Calculando a média para o Carro B:
E similarmente para os desvios padrão.
Passo 6
Com as médias e desvios padrão em mãos, vamos calcular o teste t para duas amostras independentes:
Onde:
- $ \bar{X}{A} $ e $ \bar{X}{B} $ são as médias das amostras,
- $ s_{A}^{2} $ e $ s_{B}^{2} $ são as variâncias das amostras,
- $ n_{A} $ e $ n_{B} $ são os tamanhos das amostras (25 cada).
Passo 7
Vamos determinar os graus de liberdade para o teste t:
Passo 8
Com o valor do t calculado e os graus de liberdade, consultamos a tabela t de Student para encontrar o valor crítico para um teste unilateral com α = 0,05.
Passo 9
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
- Se $ t > t_{crítico} $, rejeitamos a hipótese nula.
- Se $ t \leq t_{crítico} $, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 10
Baseado na comparação, chegamos à decisão sobre a hipótese nula.
Passo 11
Finalmente, fazemos a conclusão:
- Se rejeitamos H₀: Há evidências suficientes para afirmar que, em média, leva mais tempo para estacionar com o carro A.
- Se não rejeitamos H₀: Não há evidências suficientes para afirmar que há diferença nos tempos médios de estacionamento entre os carros A e B.
Passo 12
Analisamos qual tipo de erro poderíamos cometer:
- Erro Tipo I: Rejeitar H₀ quando ela é verdadeira (5% de chance).
- Erro Tipo II: Não rejeitar H₀ quando ela é falsa.
No nosso caso, sendo α = 0,05, estamos dispostos a aceitar um erro tipo I de 5%.
Resposta
Após realizar os cálculos apropriados, se o valor do teste t for maior que o valor crítico para α = 0,05, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que, com 95% de confiança, podemos afirmar que, em média, leva mais tempo para se estacionar com o automóvel do Tipo A do que com o Tipo B. Nesse processo, estamos suscetíveis a cometer um Erro Tipo I, que representa a probabilidade de concluir que o automóvel A é mais lento para estacionar quando, na verdade, não há diferença.