Da população X sim N(50,100) retirou-se uma amostra casual simples de n=10 elementos. Da população Y sim N(60,100) retirou-se uma amostra casual simples de m=6 indivíduos, independente da primeira. Obtemos as variâncias amostrais S1^2 e S2^2, respectivamente. Encontre o valor de a, tal que P(S1^2S2^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas populações normais, X e Y, com médias de 50 e 60, e variância de 100 cada. Tiramos amostras aleatórias de 10 elementos da população X e 6 da população Y. Calculamos as variâncias amostrais S1^2 e S2^2. A gente precisa encontrar o valor de a tal que a probabilidade de S1^2S2^2 ser menor que a seja 95%. Para resolver isso, vamos usar o teste F, que compara variâncias de duas populações normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos duas variâncias amostrais de populações normais e independentes, a razão entre elas segue uma distribuição chamada F de Snedecor. A fórmula é:
F = S1^2S2^2
Aqui, S1^2 tem n-1 graus de liberdade e S2^2 tem m-1 graus de liberdade. No nosso caso, n=10 e m=6, então os graus de liberdade são 9 e 5, respectivamente.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o valor de a tal que:
P(S1^2S2^2 < a) = 0,95
Isso significa que a é o valor que corresponde ao percentil 95 da distribuição F com 9 e 5 graus de liberdade.

Passo 4

Para encontrar esse valor de a, precisamos consultar uma tabela da distribuição F ou usar uma ferramenta estatística que calcula percentis dessa distribuição. Geralmente, as tabelas fornecem valores para diferentes probabilidades e graus de liberdade.

Passo 5

Consultando uma tabela F ou usando uma calculadora estatística, buscamos o valor de F0,95(9,5). Esse valor é aproximadamente 4,39.

Resposta

O valor de a é aproximadamente 4,39.

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