Da população X sim N(50,100) retirou-se uma amostra casual simples de n=10 elementos. Da população Y sim N(60,100) retirou-se uma amostra casual simples de m=6 indivíduos, independente da primeira. Obtemos as variâncias amostrais S1^2 e S2^2, respectivamente. Encontre o valor de b, tal que P(S1^2S2^2>b)=95 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta duas populações normais, X sim N(50,100) e Y sim N(60,100). Tiramos uma amostra aleatória simples de n=10 elementos da população X e outra amostra de m=6 indivíduos da população Y, de forma independente. Calculamos as variâncias amostrais S1^2 e S2^2, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar o valor de b tal que a probabilidade de S1^2S2^2 ser maior que b seja de 95%. Vamos usar conceitos de estatística inferencial, principalmente sobre a distribuição F para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que as variâncias amostrais S1^2 e S2^2 seguem distribuições qui-quadrado quando as populações são normais. Sabemos que:
(n-1)S1^2sigma1^2 sim chi^2n-1
(m-1)S2^2sigma2^2 sim chi^2m-1
Aqui, sigma1^2 e sigma2^2 são as variâncias das populações X e Y, respectivamente. Como no enunciado sigma1^2 = sigma2^2 = 100, isso simplifica nossos cálculos.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade da razão das variâncias amostrais ser maior que b:
P(S1^2S2^2 > b) = 0,95
Para isso, usamos a distribuição F, que é a razão de duas variâncias qui-quadrado normalizadas. A fórmula da distribuição F é:
F = S1^2/sigma1^2S2^2/sigma2^2 = S1^2S2^2
Então, temos que:
S1^2S2^2 sim Fn-1, m-1
Onde Fn-1, m-1 é a distribuição F com (n-1) e (m-1) graus de liberdade.

Passo 4

Agora, substituímos os valores de n e m:
n - 1 = 10 - 1 = 9
m - 1 = 6 - 1 = 5
Portanto, nossa distribuição F é F9,5.

Passo 5

Queremos achar b tal que:
P(F9,5 > b) = 0,95
Isso significa que b é o valor abaixo do qual 5% da distribuição F cai, já que a probabilidade de ser maior que b é 95%.

Passo 6

Para encontrar b, consultamos uma tabela da distribuição F ou usamos uma calculadora estatística. Estamos procurando o percentil de 5% para a distribuição F9,5.
Após consultar a tabela ou calcular, obtemos:
b approx 0,220

Resposta

O valor de b é aproximadamente 0,220.

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