Da população
retirou-se uma amostra casual simples de
elementos. Da população
retirou-se uma amostra casual simples de
indivíduos, independente da primeira. Obtemos as variâncias amostrais
e
, respectivamente. Encontre o valor de
, tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta duas populações normais,
e
. Tiramos uma amostra aleatória simples de
elementos da população
e outra amostra de
indivíduos da população
, de forma independente. Calculamos as variâncias amostrais
e
, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar o valor de
tal que a probabilidade de
ser maior que
seja de 95%. Vamos usar conceitos de estatística inferencial, principalmente sobre a distribuição F para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que as variâncias amostrais
e
seguem distribuições qui-quadrado quando as populações são normais. Sabemos que:
Aqui,
e
são as variâncias das populações
e
, respectivamente. Como no enunciado
, isso simplifica nossos cálculos.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade da razão das variâncias amostrais ser maior que
:
Para isso, usamos a distribuição F, que é a razão de duas variâncias qui-quadrado normalizadas. A fórmula da distribuição F é:
Então, temos que:
Onde
é a distribuição F com
e
graus de liberdade.
Passo 4
Agora, substituímos os valores de
e
:
Portanto, nossa distribuição F é
.
Passo 5
Queremos achar
tal que:
Isso significa que
é o valor abaixo do qual 5% da distribuição F cai, já que a probabilidade de ser maior que
é 95%.
Passo 6
Para encontrar
, consultamos uma tabela da distribuição F ou usamos uma calculadora estatística. Estamos procurando o percentil de 5% para a distribuição
.
Após consultar a tabela ou calcular, obtemos:
Resposta
O valor de
é aproximadamente
.